Examen de Matemáticas II de Cantabria 2021 (convocatoria extraordinaria)

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}{\lambda }^{2}x+3y=3\lambda \\ 3x+y=3\end{array}$ dependiente del parámetro $\lambda$.

a) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{e^x}}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. [0,5 puntos]

c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $x=2$. [0,5 puntos]

d) Calcule ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)$. [1 punto]

Considere los puntos $A=(1,1,0)$, $B=(0,1,1)$, $C=(-1,0,1)$ y el origen de coordenadas $O$.

a) Calcule la ecuación del plano, $\mathrm{\Pi }$, que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

b) Compruebe que el origen de coordenadas, $O$, está contenido en el plano $\mathrm{\Pi }$. [0,25 puntos]

c) Compruebe que $\overrightarrow{AB}$ es paralelo a $\overrightarrow{OC}$ y que $\overrightarrow{AO}$ es paralelo a $\overrightarrow{BC}$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área del paralelogramo $ABCO$. [1 punto]

Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60 % de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30 %.

a) Calcule la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar. [1,25 puntos]

Considere la ecuación matricial $XA-2X=A$, en donde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ a& -2\end{array}\right)$, siendo $a$ una constante real.

a) Estudie el rango de $A$ en función del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Indique para qué valores se puede calcular la inversa de $A$. [0,25 puntos]

c) Despeje $X$ de la ecuación matricial. [0,75 puntos]

d) Calcule $X$ para $a=2$. [1 punto]

Considere la función $f(x)=-x^2+4x$.

a) Calcule la derivada de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, las rectas $x=1$, $x=3$ y el eje OX de abscisas. [1 punto]

Considere los puntos $A=(2,1,5)$, $B=(3,4,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=4-3\lambda \\ z=1-4\lambda \end{array}$

a) Calcule la ecuación de la recta, $r^{\mathrm{\prime }}$, que pase por $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $r^{\mathrm{\prime }}$. [1 punto]

c) Calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y el origen de coordenadas. [1 punto]

En una determinada población de adultos sanos, la concentración media de colesterol en sangre sigue una distribución normal con media 190 mg/dl y desviación típica 30 mg/dl. Un nivel elevado de colesterol puede indicar posibles problemas de salud.

a) Calcule la probabilidad de que un adulto sano de la población tenga un nivel de colesterol superior a 250 mg/dl. [1,25 puntos]

b) Calcule qué nivel de colesterol solo superan el 1 % de adultos sanos de dicha población. [1,25 puntos]