Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere la ecuación matricial $XA-2X=A$, en donde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ a& -2\end{array}\right)$, siendo $a$ una constante real.

a) Estudie el rango de $A$ en función del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Indique para qué valores se puede calcular la inversa de $A$. [0,25 puntos]

c) Despeje $X$ de la ecuación matricial. [0,75 puntos]

d) Calcule $X$ para $a=2$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La matriz es cuadrada de orden dos, así que su rango es $2$ salvo que el determinante se anule.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ a& -2\end{array}\mid =-4+a=a-4$

$a-4=0\Rightarrow a=4$

Si $a\mathrm{\ne }4$, $\mathrm{ran}(A)=2$. Si $a=4$ la matriz queda

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)$

con la segunda fila igual al doble de la primera y sin ser la matriz nula, luego $\mathrm{ran}(A)=1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$a-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }4$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Despeje}}\mathit{X}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matricial.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita multiplica por la izquierda, así que la sacamos factor común por ese lado, usando que $2X=X\cdot 2I$.

$XA-2X=A\Rightarrow XA-X(2I)=A\Rightarrow X(A-2I)=A$

Ahora multiplicamos por la derecha por la inversa de ese paréntesis:

$X=A(A-2I{)}^{-1}$

lo que exige que $A-2I$ sea regular. Su determinante es

$\mathrm{\mid }A-2I\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ a& -4\end{array}\mid =0+a=a$

de modo que el despeje vale siempre que $a\mathrm{\ne }0$.



Con $a=2$ se cumple $a\mathrm{\ne }0$, así que el despeje anterior es aplicable.

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& -2\end{array}\right),A-2I=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -4\end{array}\right),\mathrm{\mid }A-2I\mathrm{\mid }=2$

$(A-2I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& \frac{1}{2}\\ -1& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& \frac{1}{2}\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$XA-2X=\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -2& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-6& 2\\ -4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& -2\end{array}\right)=A\mathrm{✓}$