Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere la ecuación matricial $AX-X=B$, siendo $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& a\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -6& 3\end{array}\right)$, en donde $a$ es un parámetro real.

a) Despeje la matriz $X$ de la ecuación anterior. [1 punto]

b) Halle los valores de $a$ para los que no es posible calcular $X$. [0,5 puntos]

c) Calcule $X$ para $a=1$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Despeje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita multiplica por la derecha, así que la sacamos factor común por ese lado, usando que $X=IX$.

$AX-X=B\Rightarrow AX-IX=B\Rightarrow (A-I)X=B$

Multiplicamos ahora por la izquierda por la inversa de ese paréntesis:

$X=(A-I{)}^{-1}B$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{calcular}}\mathit{X}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El despeje anterior exige que $A-I$ tenga inversa, es decir, que su determinante no se anule.

$A-I=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& a-1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=(a-1)+1=a$

No es posible calcular $X$ por este procedimiento cuando $a=0$.



Con $a=1$ se cumple $a\mathrm{\ne }0$, así que el despeje es aplicable.

$A-I=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=1$

$(A-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -6& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-6& 3\\ -9& 3\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida, con $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$:

$AX-X=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ -15& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-6& 3\\ -9& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -6& 3\end{array}\right)=B\mathrm{✓}$