Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Considere las matrices:

$A=\left(\begin{array}{ccc}a+1& 1& 1\\ 1& a+3& 1\\ 1& 1& a+1\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$; y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 0\\ 5& 3\end{array}\right)$. [2,5 puntos]

a) Halle los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Considere $a=-3$. Calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$. [1 punto]

c) Considere $a=-3$. Halle, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $AX=B$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que calculamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ por la regla de Sarrus y descartamos los valores del parámetro que lo anulan.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a+1& 1& 1\\ 1& a+3& 1\\ 1& 1& a+1\end{array}\mid =(a+1{)}^2(a+3)+1+1-(a+3)-(a+1)-(a+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a^3+5a^2+7a+3+2-a-3-2a-2=a^3+5a^2+4a$

Sacamos factor común y resolvemos la ecuación de segundo grado que queda.

$a^3+5a^2+4a=a(a^2+5a+4)=a(a+1)(a+4)$

$a(a+1)(a+4)=0\Rightarrow a=0,a=-1,a=-4$

La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a$ salvo tres: $a=0$, $a=-1$ y $a=-4$.



Como $-3$ no es ninguno de los tres valores del apartado anterior, la inversa existe. Sustituimos y calculamos el determinante.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\mid =0+1+1-0+2+2=6\mathrm{\ne }0$

La matriz $A$ es simétrica, de modo que $A^t=A$ y basta calcular la adjunta de la propia $A$.

$\mathrm{Adj}(A^t)=\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ 3& 3& 3\\ 1& 3& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(A^t)}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ 3& 3& 3\\ 1& 3& -1\end{array}\right)$

La inversa de $A$ para $a=-3$ es $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ 3& 3& 3\\ 1& 3& -1\end{array}\right)$.



En la ecuación $AX=B$ la matriz $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, así que por la izquierda multiplicamos también por $A^{-1}$, que existe por el apartado anterior.

$AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

$X={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ 3& 3& 3\\ 1& 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 0\\ 5& 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}12& 6\\ 18& 0\\ 0& -6\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Sí es posible: la solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, una matriz de $3\times 2$, que es el único tamaño con el que el producto $AX$ puede dar $B$.