Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere la ecuación $AX{A}^t=B$ en donde $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 2\end{array}\right)$, y $A^t$ denota traspuesta de $A$.

a) Despeje la matriz $X$ en la igualdad dada. [0,5 puntos]

b) Compruebe que $A$ es invertible y calcule su inversa. [0,5 puntos]

c) Compruebe que $(A^{-1}{)}^t=(A^t{)}^{-1}$. [0,5 puntos]

d) Calcule $X$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Despeje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{igualdad}}\mathbf{\text{dada.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En el primer miembro la incógnita está multiplicada por $A$ por la izquierda y por $A^t$ por la derecha, así que hay que despejar cada una por su lado.

$AX{A}^t=B\Rightarrow A^{-1}AX{A}^t(A^t{)}^{-1}=A^{-1}B(A^t{)}^{-1}$

$X=A^{-1}B(A^t{)}^{-1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden dos basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$



Calculamos los dos miembros por separado. El primero es trasponer la matriz del apartado anterior:

$(A^{-1}{)}^t=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 1\end{array}\right)$

Para el segundo trasponemos primero y luego invertimos. Como $\mathrm{\mid }{A}^t\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2$:

$A^t=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow (A^t{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 1\end{array}\right)$

Las dos matrices coinciden término a término, luego $(A^{-1}{)}^t=(A^t{)}^{-1}$: trasponer e invertir se pueden hacer en cualquier orden.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{X}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Sustituimos en el despeje del apartado a), aprovechando la igualdad recién probada.

$A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ \frac{1}{2}& \frac{5}{2}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$AX{A}^t=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ \frac{1}{2}& \frac{5}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 2\end{array}\right)=B\mathrm{✓}$