Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere los puntos $A=(2,1,5)$, $B=(3,4,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=4-3\lambda \\ z=1-4\lambda \end{array}$

a) Calcule la ecuación de la recta, $r^{\mathrm{\prime }}$, que pase por $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $r^{\mathrm{\prime }}$. [1 punto]

c) Calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y el origen de coordenadas. [1 punto]

Tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como vector director.

$\overrightarrow{AB}=(3,4,1)-(2,1,5)=(1,3,-4)$

$r^{\mathrm{\prime }}:\{\begin{array}{l}x=2+\mu \\ y=1+3\mu \\ z=5-4\mu \end{array},\mu \in \mathbb{R}$



Leemos de las paramétricas de $r$ su punto y su director.

$P_r(3,4,1),{\vec{v}}_r=(-1,-3,-4),{\vec{v}}_{r^{\mathrm{\prime }}}=(1,3,-4)$

Los directores no son proporcionales, porque $\frac{-1}{1}=\frac{-3}{3}=-1$ pero $\frac{-4}{-4}=1$. Las rectas, por tanto, o se cortan o se cruzan. Lo que decide es si tienen algún punto común, y aquí se ve de un vistazo: el punto $P_r(3,4,1)$ de la primera es exactamente el punto $B$, que está en la segunda.

$\mu =1\Rightarrow (2+1,1+3,5-4)=(3,4,1)=B\in r^{\mathrm{\prime }}$



Las dos rectas son secantes, y se cortan precisamente en el punto $B(3,4,1)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados con origen común; tomamos los que salen de $O$.

$\overrightarrow{OA}=(2,1,5),\overrightarrow{OB}=(3,4,1)$

$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& 5\\ 3& 4& 1\end{array}\mid =(-19,13,5)$

$\mid \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\mid =\sqrt{361+169+25}=\sqrt{555}$

$S={\displaystyle \frac{\sqrt{555}}{2}}\approx \mathrm{11,7792}$

El área del triángulo es ${\displaystyle \frac{\sqrt{555}}{2}}\approx \mathrm{11,7792}$ unidades de área.