Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere los puntos $A=(1,3,1)$, $B=(4,1,-2)$, $C=(3,5,2)$, $D=(1,1,3)$.

a) Halle la ecuación del plano, $\mathrm{\Pi }$, que contiene los puntos $A$, $B$, $C$. [1 punto]

b) Compruebe si el punto $D$ está contenido en el plano $\mathrm{\Pi }$. [0,5 puntos]

c) Calcule el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{,}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Un plano queda determinado por un punto y dos directores; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(4,1,-2)-(1,3,1)=(3,-2,-3)$

$\overrightarrow{AC}=(3,5,2)-(1,3,1)=(2,2,1)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& -2& -3\\ 2& 2& 1\end{array}\mid =(4,-9,10)$

$\mathrm{\Pi }:4x-9y+10z+D=0$

Imponemos que $A(1,3,1)$ pertenezca al plano:

$4-27+10+D=0\Rightarrow D=13$

$\mathrm{\Pi }:4x-9y+10z+13=0$

Comprobamos con $B(4,1,-2)$: $16-9-20+13=0$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{D}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta sustituir sus coordenadas en la ecuación del plano y ver si se cumple.

$4\cdot 1-9\cdot 1+10\cdot 3+13=4-9+30+13=38\mathrm{\ne }0$

El punto $D(1,1,3)$ no pertenece al plano $\mathrm{\Pi }$; en consecuencia, los cuatro puntos no son coplanarios.



El ángulo entre dos vectores sale del producto escalar.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6-4-3=-1$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{9+4+9}=\sqrt{22},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{4+4+1}=3$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{-1}{3\sqrt{22}}}\approx -\mathrm{0,0711}$

$\alpha \approx {\mathrm{94,08}}^{\circ }$

El coseno sale negativo, así que el ángulo es obtuso, aunque solo por poco: los dos vectores están casi en ángulo recto.