Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere la recta $r:\{\begin{array}{l}x-2z-2=0\\ y+z=3\end{array}$ y el punto $P=(-3,2,2)$. [2,5 puntos]

a) Exprese la recta $r$ en forma continua. [0,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$. [1 punto]

c) Calcule la distancia entre $r$ y $P$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{continua.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos. Para pasarla a forma continua hacen falta un punto y un vector director; el director es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.

${\vec{n}}_1=(1,0,-2),{\vec{n}}_2=(0,1,1)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =(2,-1,1)$

Un punto se obtiene dando un valor a una incógnita; con $z=0$ queda $x=2$ e $y=3$.

$A(2,3,0)\in r$

$r:{\displaystyle \frac{x-2}{2}}={\displaystyle \frac{y-3}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$

Esa es la forma continua de la recta. Cualquier otro punto de $r$ da una expresión equivalente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el director de la recta es un vector normal del plano, y eso ya fija los tres primeros coeficientes de su ecuación general.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(2,-1,1)\Rightarrow \pi :2x-y+z+D=0$

Imponemos que el punto $P(-3,2,2)$ pertenezca al plano.

$2(-3)-2+2+D=0\Rightarrow -6+D=0\Rightarrow D=6$



El plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$ es $\pi :2x-y+z+6=0$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como $\pi$ es perpendicular a $r$ y contiene a $P$, el punto $Q$ en el que la recta corta al plano es el pie de la perpendicular trazada desde $P$, y la distancia pedida es $d(P,Q)$. Escribimos la recta en paramétricas y sustituimos en el plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=2+2\lambda \\ y=3-\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$2(2+2\lambda )-(3-\lambda )+\lambda +6=0\Rightarrow 6\lambda +7=0\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{7}{6}}$

$Q(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{25}{6}},-{\displaystyle \frac{7}{6}})$

$d(P,r)=d(P,Q)=\sqrt{{(-3+{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2+{(2-{\displaystyle \frac{25}{6}})}^2+{(2+{\displaystyle \frac{7}{6}})}^2}$

$d(P,r)=\sqrt{{\displaystyle \frac{64}{9}}+{\displaystyle \frac{169}{36}}+{\displaystyle \frac{361}{36}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{786}{36}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{786}}{6}}\approx \mathrm{4,673}\text{ u}$

La distancia del punto a la recta es $\frac{\sqrt{786}}{6}$ unidades, unas $\mathrm{4,673}$. Se llega al mismo valor con la fórmula del producto vectorial, porque $\mid \overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{131}$ y $\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{6}$.