Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de Cantabria

Examen de Matemáticas II de Cantabria 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cantabria, convocatoria extraordinaria de 2025. Aquí hay 7 ejercicios publicados, 7 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Considere las matrices:

A = (\begin{array}{cc} - 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{array})

B = (\begin{array}{ccc} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array})

, con

a \in R

. [2,5 puntos]

a) Estudie el rango de

A B

, en función de los valores de

a

. [0,75 puntos]

b) Estudie el rango de

B A

, en función de los valores de

a

. [0,75 puntos]

c) Considere

a = 1

. Calcule, si es posible, la matriz

X

que satisface la siguiente ecuación matricial:

B A X = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array})

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

{\begin{cases} a x + y + z = 4 \\ (a - 1) x - 3 z = 2 \\ y + (a^{2} + a + 1) z = 0 \end{cases}

dependiente del parámetro

a \in R

. [2,5 puntos]

a) Determine los valores de

a

para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]

b) Considere

a = - 1

. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere

a = 2

. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Funciones

Considere la siguiente función:

f (x) = e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + \frac{3}{2})

. [2,5 puntos]

a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f (x)

. [1 punto]

b) Determine, si existen, los puntos de inflexión de

f (x)

. [0,75 puntos]

c) Si existen, halle las asíntotas horizontales de

f (x)

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Considere las siguientes funciones:

f (x) = x^{2} - x

g (x) = 1 - x^{2}

. [2,5 puntos]

a) Determine los puntos de corte de

g (x)

con el eje de abscisas OX. [0,5 puntos]

b) Determine los puntos de corte de

f (x)

con

g (x)

. [0,5 puntos]

c) Calcule el área delimitada por

f (x)

g (x)

y las rectas

x = - 1

x = 1

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Considere la recta

r : {\begin{cases} x - 2 z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}

y el punto

P = (- 3, 2, 2)

. [2,5 puntos]

a) Exprese la recta

r

en forma continua. [0,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano perpendicular a

r

que pasa por

P

. [1 punto]

c) Calcule la distancia entre

r

P

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Árboles de decisión

Se tienen dos urnas con bolas rojas y bolas verdes. En la urna A hay un total de 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. En la urna B hay un total de 4 bolas verdes y 2 bolas rojas. [2,5 puntos]

a) Si se sacan al azar dos bolas de la urna A, a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos bolas rojas? [0,5 puntos]

b) Si se saca una sola bola de una urna elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? [0,5 puntos]

c) Si se saca una bola verde de una urna escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna A? [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Distribución normal

En una población, el 85 % de las personas son rubias. Además, su altura se distribuye según una distribución normal de media 170 cm y desviación típica de 16 cm. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160 y 190 cm. [1 punto]

c) Sabiendo que solo el 12 % de las personas rubias de la población mide más de 190 cm, calcule la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7