Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Considere las siguientes funciones: $f(x)=x^2-x$ y $g(x)=1-x^2$. [2,5 puntos]

a) Determine los puntos de corte de $g(x)$ con el eje de abscisas OX. [0,5 puntos]

b) Determine los puntos de corte de $f(x)$ con $g(x)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área delimitada por $f(x)$, $g(x)$ y las rectas $x=-1$ y $x=1$. [1,5 puntos]

Los cortes con el eje OX son las soluciones de $g(x)=0$, con ordenada nula.

$1-x^2=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

La parábola $g$ corta al eje de abscisas en los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$.



Dos curvas se cortan donde toman el mismo valor, así que igualamos las dos expresiones y resolvemos la ecuación de segundo grado.

$x^2-x=1-x^2\Rightarrow 2x^2-x-1=0$

$x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{4}}\Rightarrow x=1,x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sustituimos en cualquiera de las dos funciones para obtener las ordenadas.

$f(1)=1-1=0,f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Las dos curvas se cortan en $(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ y en $(1,0)$; este último es además uno de los cortes con el eje OX del apartado anterior.



El corte $x=-\frac{1}{2}$ cae dentro del intervalo $[-1,1]$, así que las dos curvas se intercambian ahí y el recinto hay que partirlo en dos. Vemos cuál va por encima en cada trozo evaluando en un punto interior.

$x=-{\displaystyle \frac{3}{4}}:f(-{\displaystyle \frac{3}{4}})={\displaystyle \frac{21}{16}},g(-{\displaystyle \frac{3}{4}})={\displaystyle \frac{7}{16}}\Rightarrow f>g$

$x=0:f(0)=0,g(0)=1\Rightarrow g>f$



En el primer trozo integramos $f-g$ y en el segundo, $g-f$. Una primitiva de la diferencia es

$\int (f-g)dx=\int (2x^2-x-1)dx={\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x$

Aplicamos la regla de Barrow en $[-1,-\frac{1}{2}]$.

$A_1={[{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x]}_{-1}^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{7}{24}}-(-{\displaystyle \frac{1}{6}})={\displaystyle \frac{11}{24}}$

En $[-\frac{1}{2},1]$ el integrando es el opuesto, así que la primitiva también lo es.

$A_2={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x]}_{-1\mathrm{/}2}^1={\displaystyle \frac{5}{6}}-(-{\displaystyle \frac{7}{24}})={\displaystyle \frac{27}{24}}={\displaystyle \frac{9}{8}}$

$A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{11}{24}}+{\displaystyle \frac{27}{24}}={\displaystyle \frac{38}{24}}={\displaystyle \frac{19}{12}}\approx \mathrm{1,583}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{19}{12}}{\text{u}}^2$, es decir, unas $\mathrm{1,583}{\text{u}}^2$.