Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Considere la siguiente función: $f(x)=e^{-2x}(x^2-3x+{\displaystyle \frac{3}{2}})$. [2,5 puntos]

a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

b) Determine, si existen, los puntos de inflexión de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Si existen, halle las asíntotas horizontales de $f(x)$. [0,75 puntos]

La monotonía la decide el signo de la derivada primera. Derivamos el producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-2x}(x^2-3x+{\displaystyle \frac{3}{2}})+e^{-2x}(2x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-2x}(-2x^2+6x-3+2x-3)=e^{-2x}(-2x^2+8x-6)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-2x}(x^2-4x+3)=-2e^{-2x}(x-1)(x-3)$

$-2e^{-2x}(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,x=3$

Como $e^{-2x}>0$ para todo $x$, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el opuesto al de la parábola $(x-1)(x-3)$: negativo fuera de las raíces y positivo entre ellas.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },1)$ y en $(3,+\mathrm{\infty })$, y crece en $(1,3)$. Hay entonces un mínimo relativo en $x=1$, de valor $f(1)=-\frac{1}{2}{e}^{-2}\approx -\mathrm{0,0677}$, y un máximo relativo en $x=3$, de valor $f(3)=\frac{3}{2}{e}^{-6}\approx \mathrm{0,0037}$.



Un punto de inflexión es aquel en el que la derivada segunda se anula y cambia de signo, así que derivamos otra vez la expresión del apartado anterior.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4e^{-2x}(x^2-4x+3)-2e^{-2x}(2x-4)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{-2x}(4x^2-16x+12-4x+8)=4e^{-2x}(x^2-5x+5)$

$x^2-5x+5=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25-20}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{5}}{2}}$

De nuevo la exponencial es positiva, de modo que el signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ es el de la parábola, que cambia al pasar por cada una de sus dos raíces simples.



Calculamos las ordenadas sustituyendo en la función.

${\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{1,3820}\Rightarrow f\left({\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}}\right)\approx -\mathrm{0,0464}$

${\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{3,6180}\Rightarrow f\left({\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{2}}\right)\approx \mathrm{0,0027}$

Sí existen, y son dos: $(\frac{5-\sqrt{5}}{2},-\mathrm{0,0464})$ y $(\frac{5+\sqrt{5}}{2},\mathrm{0,0027})$. Encajan con el apartado anterior, porque quedan uno a cada lado del tramo creciente.



Hay asíntota horizontal cuando el límite de la función en el infinito es finito, así que estudiamos los dos límites por separado. En $+\mathrm{\infty }$ aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$, que se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando dos veces la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-2x}(x^2-3x+{\displaystyle \frac{3}{2}})={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-3x+\frac{3}{2}}{e^{2x}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x-3}{2e^{2x}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{4e^{2x}}}=0$

En $-\mathrm{\infty }$ no hay indeterminación: los dos factores tienden a $+\mathrm{\infty }$.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{e}^{-2x}(x^2-3x+{\displaystyle \frac{3}{2}})=+\mathrm{\infty }\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$

Sí existe, y es una sola: la recta $y=0$ es asíntota horizontal cuando $x\to +\mathrm{\infty }$. Por la izquierda la función no tiene asíntota horizontal, porque crece sin límite.