Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere la recta $r:\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ y-2z=1\end{array}$ y el punto $P=(1,1,1)$. [2,5 puntos]

a) Determine los puntos de $r$ que están a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades de $P$. [1 punto]

b) Obtenga la ecuación del plano que contiene a $r$ y $P$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre $r$ y $P$. [0,75 puntos]

Los tres apartados usan el mismo par de datos de la recta, así que los obtenemos una sola vez. Un vector director de $r$ es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\mid =(2,4,2)$

Los tres componentes son proporcionales a $(1,2,1)$, y con ese director trabajamos. Un punto de $r$ se obtiene dando un valor a una incógnita; con $z=0$ queda $y=1$ y $2x-1=3$:

$A(2,1,0)\in r$

$r:\{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=1+2\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msqrt><mn\; mathvariant="bold">14</mn></msqrt>}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Un punto genérico de la recta depende de $\lambda$, así que imponemos que su distancia a $P$ valga $\sqrt{14}$ y despejamos el parámetro.

$R(2+\lambda ,1+2\lambda ,\lambda )$

$d(P,R)=\sqrt{(1+\lambda {)}^2+(2\lambda {)}^2+(\lambda -1{)}^2}=\sqrt{6{\lambda }^2+2}$

$\sqrt{6{\lambda }^2+2}=\sqrt{14}\Rightarrow 6{\lambda }^2+2=14\Rightarrow {\lambda }^2=2\Rightarrow \lambda =\pm \sqrt{2}$

Sustituimos los dos valores en las ecuaciones paramétricas.

$\lambda =\sqrt{2}\Rightarrow R_1(2+\sqrt{2},1+2\sqrt{2},\sqrt{2})$

$\lambda =-\sqrt{2}\Rightarrow R_2(2-\sqrt{2},1-2\sqrt{2},-\sqrt{2})$

Hay dos puntos de $r$ a distancia $\sqrt{14}$ de $P$: $R_1(2+\sqrt{2},1+2\sqrt{2},\sqrt{2})$ y $R_2(2-\sqrt{2},1-2\sqrt{2},-\sqrt{2})$. Ambos son admisibles, y quedan simétricos respecto del pie de la perpendicular trazada desde $P$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores independientes contenidos en él. Tomamos el punto $A$ de la recta y, como vectores, el director de $r$ y el que va de $A$ a $P$.

$\overrightarrow{AP}=(1,1,1)-(2,1,0)=(-1,0,1)$



El vector normal del plano es el producto vectorial de esos dos.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{AP}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\mid =(2,-2,2)$

Simplificamos a $(1,-1,1)$ y escribimos la ecuación general imponiendo que pase por $A$.

$\pi :x-y+z+D=0$

$2-1+0+D=0\Rightarrow D=-1$

El plano que contiene a la recta y al punto es $\pi :x-y+z-1=0$. Comprobamos que $P$ lo cumple: $1-1+1-1=0$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular y se obtiene con el producto vectorial del vector $\overrightarrow{AP}$ por el director, dividido entre el módulo del director.

$d(P,r)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid }}$

$\overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 0& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =(-2,2,-2)$

$\mid \overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3},\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$

$d(P,r)={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}\text{ u}$

La distancia del punto a la recta es $\sqrt{2}$ unidades. El mismo valor se obtiene del apartado a): el mínimo de $\sqrt{6{\lambda }^2+2}$ se alcanza en $\lambda =0$ y vale $\sqrt{2}$.