Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere los puntos $A=(2,1,5)$, $B=(3,4,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=4-3\lambda \\ z=1-4\lambda \end{array}$

a) Se emite un rayo láser desde el punto $A$. Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto $B$. [0,5 puntos]

b) Calcule la ecuación de una recta que pase por $B$ y sea perpendicular al rayo y a la recta $r$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta $r$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{impacte}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La trayectoria es la recta que pasa por los dos puntos, así que tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como director.

$\overrightarrow{AB}=(3,4,1)-(2,1,5)=(1,3,-4)$

$r^{\mathrm{\prime }}:\{\begin{array}{l}x=2+\mu \\ y=1+3\mu \\ z=5-4\mu \end{array},\mu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una recta perpendicular a otras dos tiene por director un vector ortogonal a los dos directores, y eso es justo lo que da el producto vectorial.

${\vec{v}}_{r^{\mathrm{\prime }}}=(1,3,-4),{\vec{v}}_r=(-1,-3,-4)$

${\vec{v}}_{r^{\mathrm{\prime }}}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 3& -4\\ -1& -3& -4\end{array}\mid =(-24,8,0)$

Cualquier múltiplo suyo sirve igual, así que lo simplificamos dividiendo por $-8$:

${\vec{v}}_s=(3,-1,0)$

Con ese director y el punto $B(3,4,1)$:

$s:\{\begin{array}{l}x=3+3\nu \\ y=4-\nu \\ z=1\end{array},\nu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para que exista tal plano, las dos rectas deben cortarse o ser paralelas. Los directores no son proporcionales, así que hay que comprobar que se cortan: haciendo $\lambda =0$ en $r$ se obtiene $(3,4,1)=B$, que también está en el rayo. Las dos rectas se cortan, pues, en $B$, y determinan un plano.

Su vector normal es ortogonal a los dos directores, es decir, el mismo del apartado anterior:

${\vec{n}}_{\pi }=(3,-1,0)\Rightarrow \pi :3x-y+D=0$

Imponemos que pase por $B(3,4,1)$:

$9-4+D=0\Rightarrow D=-5$

$\pi :3x-y-5=0$



Comprobamos con $A(2,1,5)$, que debe estar en el plano por pertenecer al rayo: $6-1-5=0$.