Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Se emite un rayo láser desde el punto $P=(1,2,8)$ en la dirección del vector $\vec{v}=(1,2,-3)$. El plano $-x-y+3z=-8$ determina la posición de una lámina de grandes dimensiones.

a) Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser. [0,5 puntos]

b) Determine la posición relativa de rayo y lámina. [1 punto]

c) Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcule la ecuación del plano de esta lámina. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El enunciado da el punto de emisión y la dirección, que es todo lo que hace falta.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2+2\lambda \\ z=8-3\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La posición relativa la decide el producto escalar del director del rayo por el normal de la lámina.

$\vec{v}=(1,2,-3),{\vec{n}}_{\pi }=(-1,-1,3)$

$\vec{v}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-1-2-9=-12\mathrm{\ne }0$

Al no ser ortogonales, el rayo no es paralelo a la lámina ni está contenido en ella: la atraviesa en un punto. Lo localizamos sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

$-(1+\lambda )-(2+2\lambda )+3(8-3\lambda )=-8$

$-1-\lambda -2-2\lambda +24-9\lambda =-8\Rightarrow 21-12\lambda =-8\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{29}{12}}$



El rayo y la lámina son secantes: el rayo impacta en la lámina en el punto

$({\displaystyle \frac{41}{12}},{\displaystyle \frac{41}{6}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{situar}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que el plano sea ortogonal al rayo significa que el director del rayo es su vector normal.

${\vec{n}}_{\sigma }=\vec{v}=(1,2,-3)\Rightarrow \sigma :x+2y-3z+D=0$

Imponemos que pase por el origen:

$0+0-0+D=0\Rightarrow D=0$

$\sigma :x+2y-3z=0$