Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere los puntos $A=(1,2,1)$, $B=(2,3,-4)$, $C=(4,3,2)$.

a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene los tres puntos. [1 punto]

c) Calcule el área del triángulo que forman los tres puntos. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como vector director.

$\overrightarrow{AB}=(2,3,-4)-(1,2,1)=(1,1,-5)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=1-5\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{puntos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Un plano queda determinado por un punto y dos directores; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AC}=(4,3,2)-(1,2,1)=(3,1,1)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -5\\ 3& 1& 1\end{array}\mid =(6,-16,-2)$

Podemos simplificarlo dividiendo por $2$, que no cambia el plano:

$\vec{n}\parallel (3,-8,-1)\Rightarrow \pi :3x-8y-z+D=0$

Imponemos que $A(1,2,1)$ pertenezca al plano:

$3-16-1+D=0\Rightarrow D=14$

$\pi :3x-8y-z+14=0$

Comprobamos con $C(4,3,2)$: $12-24-2+14=0$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{puntos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área es la mitad del módulo del producto vectorial ya calculado en el apartado anterior.

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{36+256+4}=\sqrt{296}=2\sqrt{74}$

$S={\displaystyle \frac{2\sqrt{74}}{2}}=\sqrt{74}\approx \mathrm{8,6023}$



El área del triángulo es $\sqrt{74}\approx \mathrm{8,6023}$ unidades de área.