Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere los puntos $A=(1,1,0)$, $B=(0,1,1)$, $C=(-1,0,1)$ y el origen de coordenadas $O$.

a) Calcule la ecuación del plano, $\mathrm{\Pi }$, que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

b) Compruebe que el origen de coordenadas, $O$, está contenido en el plano $\mathrm{\Pi }$. [0,25 puntos]

c) Compruebe que $\overrightarrow{AB}$ es paralelo a $\overrightarrow{OC}$ y que $\overrightarrow{AO}$ es paralelo a $\overrightarrow{BC}$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área del paralelogramo $ABCO$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tomamos $A$ como punto y dos vectores directores desde él; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(-1,0,1),\overrightarrow{AC}=(-2,-1,1)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 0& 1\\ -2& -1& 1\end{array}\mid =(1,-1,1)$

$\mathrm{\Pi }:x-y+z+D=0$

Imponemos que $A(1,1,0)$ pertenezca al plano:

$1-1+0+D=0\Rightarrow D=0$

$\mathrm{\Pi }:x-y+z=0$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas,}}\mathit{O}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta sustituir sus coordenadas en la ecuación.

$0-0+0=0\mathrm{✓}$

El origen pertenece a $\mathrm{\Pi }$, cosa que ya anticipaba el término independiente nulo: todo plano que pasa por el origen tiene $D=0$.



Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro. Calculamos los cuatro:

$\overrightarrow{AB}=(-1,0,1),\overrightarrow{OC}=(-1,0,1)$

$\overrightarrow{AO}=(-1,-1,0),\overrightarrow{BC}=(-1,-1,0)$

En los dos casos los vectores no solo son paralelos: son iguales. Eso es precisamente lo que caracteriza a un paralelogramo, y confirma que $ABCO$ lo es.



El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los dos lados que salen de un mismo vértice. Tomamos los que salen de $A$.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AO}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 0& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\mid =(1,-1,1)$

$S=\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AO}\mid =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}$



El área del paralelogramo es $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}$ unidades de área. No es casualidad que el producto vectorial coincida con el vector normal del apartado a): los cuatro vértices están en el mismo plano.