Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60 % de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30 %.

a) Calcule la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar. [1,25 puntos]

Llamamos $P$ al suceso «el huevo eclosionó en primer lugar», $S$ al suceso «el huevo eclosionó en segundo lugar» y $V$ al suceso «el polluelo sobrevive». Como cada nidada tiene siempre un huevo de cada clase, un polluelo cualquiera procede con igual probabilidad de uno u otro:

$P(P)=P(S)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(V\mathrm{\mid }P)=\mathrm{0,60},P(V\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,30}$

El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{polluelo}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{superviviente,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{eclosion}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{huevo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los sucesos $P$ y $S$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $V$.

$P(V)=P(P)P(V\mathrm{\mid }P)+P(S)P(V\mathrm{\mid }S)$

$=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{0,30}+\mathrm{0,15}=\mathrm{0,45}$

La probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente es $\mathrm{0,45}$, es decir, un $45\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ave}}\mathbf{\text{adulta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{especie}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{huevo}}\mathbf{\text{eclosionado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{lugar.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un ave adulta es un polluelo que sobrevivió, de modo que se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto: aplicamos el teorema de Bayes.

$P(S\mathrm{\mid }V)={\displaystyle \frac{P(S)P(V\mathrm{\mid }S)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,45}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,3333}$

Una de cada tres aves adultas procede de un huevo eclosionado en segundo lugar, pese a que la mitad de los huevos lo son: los que eclosionan antes sobreviven el doble de veces.