Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}{\lambda }^{2}x+3y=3\lambda \\ 3x+y=3\end{array}$ dependiente del parámetro $\lambda$.

a) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^2& 3\\ 3& 1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^2& 3& 3\lambda \\ 3& 1& 3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }={\lambda }^2-9=(\lambda -3)(\lambda +3)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \lambda =\pm 3$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Solo puede ocurrir si el determinante se anula, así que estudiamos los dos valores. Con $\lambda =3$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}9& 3& 9\\ 3& 1& 3\end{array}\right)$

La primera fila es el triple de la segunda, también en la columna de términos independientes, de modo que sobra una ecuación:

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=1<2=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con la segunda ecuación y tomamos $x=\mu$ como parámetro:

$3x+y=3\Rightarrow y=3-3\mu$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $\lambda =3$, y son

$(x,y)=(\mu ,3-3\mu ),\mu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{expresando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }\pm 3$ entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}3\lambda & 3\\ 3& 1\end{array}\mid }{{\lambda }^2-9}}={\displaystyle \frac{3\lambda -9}{{\lambda }^2-9}}={\displaystyle \frac{3(\lambda -3)}{(\lambda -3)(\lambda +3)}}={\displaystyle \frac{3}{\lambda +3}}$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}{\lambda }^2& 3\lambda \\ 3& 3\end{array}\mid }{{\lambda }^2-9}}={\displaystyle \frac{3{\lambda }^2-9\lambda }{{\lambda }^2-9}}={\displaystyle \frac{3\lambda (\lambda -3)}{(\lambda -3)(\lambda +3)}}={\displaystyle \frac{3\lambda }{\lambda +3}}$

El sistema tiene solución única para todo $\lambda \mathrm{\ne }\pm 3$, y esa solución es

$(x,y)=({\displaystyle \frac{3}{\lambda +3}},{\displaystyle \frac{3\lambda }{\lambda +3}})$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Queda por estudiar $\lambda =-3$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}9& 3& -9\\ 3& 1& 3\end{array}\right)$

Las dos filas de $M$ siguen siendo proporcionales, con razón $3$, pero el término independiente no la sigue, porque $3\cdot 3=9\mathrm{\ne }-9$. Por tanto

$\mathrm{ran}(M)=1\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(M^{\ast })$

El sistema no tiene solución exactamente para $\lambda =-3$.