Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

En un juego de mesa se pueden comprar tanques, submarinos y aviones por 1, 3 y 5 diamantes, respectivamente. El rival ha gastado 41 diamantes. Sabemos que tiene el doble de submarinos que de tanques, y que el número de submarinos más el de aviones es 10.

a) Con la información dada, plantee un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones que tiene el rival. [1 punto]

b) Clasifique el sistema. [0,5 puntos]

c) Resuelva el sistema. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dada,}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tanques,}}\mathbf{\text{submarinos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aviones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rival.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $x$ al número de tanques, $y$ al de submarinos y $z$ al de aviones, y traducimos a ecuaciones los tres datos.

i) Ha gastado $41$ diamantes, a $1$, $3$ y $5$ diamantes la unidad:

$x+3y+5z=41$

ii) Tiene el doble de submarinos que de tanques:

$y=2x\Rightarrow -2x+y=0$

iii) El número de submarinos más el de aviones es $10$:

$y+z=10$

$\{\begin{array}{l}x+3y+5z=41\\ -2x+y\phantom{+5z}=0\\ \phantom{-2x+}y+z=10\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ -2& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =1+0-10-0-0+6=-3\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como la segunda y la tercera ecuación son muy sencillas, sustituimos en lugar de aplicar Cramer.

$y=2x,z=10-y=10-2x$

Llevamos ambas a la primera ecuación:

$x+3(2x)+5(10-2x)=41$

$x+6x+50-10x=41\Rightarrow -3x=-9\Rightarrow x=3$

$y=2\cdot 3=6,z=10-6=4$

Comprobamos el gasto: $3\cdot 1+6\cdot 3+4\cdot 5=3+18+20=41$ diamantes.

El rival tiene $3$ tanques, $6$ submarinos y $4$ aviones.