Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2026

Considere los puntos $A=(0,0,4)$, $B=(-3,0,0)$ y $C=(0,-2,0)$. [2,5 puntos]

a) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) Calcule la distancia entre el punto $P=(1,1,1)$ y la recta que contiene a $A$ y $B$. [1 punto]

c) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vértices $A$, $B$, $C$ y $D=(0,0,0)$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tres puntos no alineados determinan un plano. Tomamos $A$ como punto de paso y los dos vectores que salen de él como directores; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(-3,0,-4),\overrightarrow{AC}=(0,-2,-4)$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& 0& -4\\ 0& -2& -4\end{array}\mid =(-8,-12,6)$

Dividimos entre $-2$, que no cambia la dirección, y escribimos la ecuación general imponiendo que pase por $A(0,0,4)$.

${\vec{n}}_{\pi }=(4,6,-3)\Rightarrow \pi :4x+6y-3z+D=0$

$4\cdot 0+6\cdot 0-3\cdot 4+D=0\Rightarrow D=12$

El plano que contiene a los tres puntos es $\pi :4x+6y-3z+12=0$. Se comprueba con $B$ y $C$: $-12+12=0$ en ambos casos.



La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular. Con el punto de paso $A$ y el director $\overrightarrow{AB}$ se obtiene con la fórmula del producto vectorial.



$\overrightarrow{AP}=(1,1,1)-(0,0,4)=(1,1,-3)$

$\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -3\\ -3& 0& -4\end{array}\mid =(-4,13,3)$

$\mid \overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{16+169+9}=\sqrt{194}$

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5$

$d(P,r_{AB})={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}\mid }{\mid \overrightarrow{AB}\mid }}={\displaystyle \frac{\sqrt{194}}{5}}\approx \mathrm{2,786}\text{ u}$

La distancia del punto a la recta que pasa por $A$ y $B$ es $\frac{\sqrt{194}}{5}$ unidades, unas $\mathrm{2,786}$.



El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que concurren en uno de sus vértices. Elegimos $D$, que es el origen, porque así los tres vectores son los propios puntos.

$\overrightarrow{DA}=(0,0,4),\overrightarrow{DB}=(-3,0,0),\overrightarrow{DC}=(0,-2,0)$



$[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}]=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ -3& 0& 0\\ 0& -2& 0\end{array}\mid =4\cdot \mid \begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -2\end{array}\mid =4\cdot 6=24$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid [\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}]\mid ={\displaystyle \frac{24}{6}}=4$

El volumen del tetraedro es de $4{\text{u}}^3$. El resultado era previsible: los tres vectores llevan la dirección de los ejes coordenados, de modo que el tetraedro es la sexta parte del ortoedro de aristas $3$, $2$ y $4$.