Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A=(a,0,1)$, $B=(1,3,0)$, $C=(0,1,0)$ y $D=(1,1,1)$, con $a\in \mathbb{R}$. Halle los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea 1.

b) [1 punto] Enuncie el teorema de Bolzano. Utilice este teorema para razonar que la función

$f(x)=(2e^x-8x-3)\mathrm{/}(x^2+2)$

corta al eje de abscisas al menos una vez.

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en uno de sus vértices. Las tomamos desde $A$.

$\overrightarrow{AB}=(1-a,3,-1)$

$\overrightarrow{AC}=(-a,1,-1)$

$\overrightarrow{AD}=(1-a,1,0)$





$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\mid \begin{array}{ccc}1-a& 3& -1\\ -a& 1& -1\\ 1-a& 1& 0\end{array}\mid$

Desarrollando por la tercera fila, que es la que tiene el cero:

$=(1-a)\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -1\end{array}\mid -1\cdot \mid \begin{array}{cc}1-a& -1\\ -a& -1\end{array}\mid =(1-a)(-2)-(-1+a-a)$

$=-2+2a+1=2a-1$

Imponemos que el volumen valga $1$.

$V={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2a-1\mathrm{\mid }}{6}}=1\Rightarrow \mathrm{\mid }2a-1\mathrm{\mid }=6\Rightarrow \{\begin{array}{l}2a-1=6\Rightarrow a={\displaystyle \frac{7}{2}}\\ 2a-1=-6\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$

El volumen del tetraedro vale $1$ para $a={\displaystyle \frac{7}{2}}$ y para $a=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bolzano.}}\mathbf{\text{Utilice}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{razonar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$



$\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vez.}}$

Enunciado del teorema: si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y toma valores de signo contrario en sus extremos, es decir, $f(a)\cdot f(b)<0$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ en el que $f(c)=0$.

Comprobamos las hipótesis en un intervalo adecuado.

i) El denominador $x^2+2$ no se anula nunca, porque $x^2+2\ge 2>0$ para todo $x$. La función es, pues, un cociente de funciones continuas con denominador no nulo, y por tanto continua en todo $\mathbb{R}$; en particular lo es en $[0,3]$.

ii) Evaluamos en los extremos:

$f(0)={\displaystyle \frac{2-0-3}{0+2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$

$f(3)={\displaystyle \frac{2e^3-24-3}{9+2}}={\displaystyle \frac{2e^3-27}{11}}\approx \mathrm{1,1974}>0$

$f(0)\cdot f(3)<0$

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, luego existe al menos un $c\in (0,3)$ con $f(c)=0$: la gráfica de $f$ corta al eje de abscisas al menos una vez.