Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

El diámetro de las mandarinas de cierta variedad se distribuye normalmente con una media de 60 mm y una desviación típica de 16 mm. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro menor de 40 mm o mayor de 90 mm. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que, al escoger al azar dos mandarinas, ambas tengan menos de 50 mm de diámetro. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro entre 40 mm y 50 mm. [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al diámetro de una mandarina elegida al azar, que sigue una distribución normal de media $60$ mm y desviación típica $16$ mm. Para usar la tabla de la $N(0,1)$ hay que tipificar.

$X\sim N(60;16),Z={\displaystyle \frac{X-60}{16}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{habiendo}}\mathbf{\text{escogido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mandarina,}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{mm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Son dos colas disjuntas, así que la probabilidad de la unión es la suma de las dos. Tipificamos los dos valores y usamos la simetría de la campana para el negativo, porque la tabla solo recoge valores positivos.

$z_1={\displaystyle \frac{40-60}{16}}=-\mathrm{1,25},z_2={\displaystyle \frac{90-60}{16}}=\mathrm{1,875}\approx \mathrm{1,88}$

$P(X<40)=P(Z<-\mathrm{1,25})=1-P(Z\le \mathrm{1,25})=1-\mathrm{0,8944}=\mathrm{0,1056}$

$P(X>90)=P(Z>\mathrm{1,88})=1-P(Z\le \mathrm{1,88})=1-\mathrm{0,9699}=\mathrm{0,0301}$

$P(X<40)+P(X>90)=\mathrm{0,1056}+\mathrm{0,0301}=\mathrm{0,1357}$



La probabilidad de que una mandarina tenga un diámetro menor de $40$ mm o mayor de $90$ mm es $\mathrm{0,1357}$, algo más de una de cada ocho.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{escoger}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{mandarinas,}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Las dos mandarinas se eligen al azar de una población, de modo que los dos sucesos son independientes y la probabilidad del suceso conjunto es el producto de las dos. Calculamos primero la probabilidad para una sola.

$z={\displaystyle \frac{50-60}{16}}=-\mathrm{0,625}\approx -\mathrm{0,63}$

$P(X<50)=P(Z<-\mathrm{0,63})=1-P(Z\le \mathrm{0,63})=1-\mathrm{0,7357}=\mathrm{0,2643}$

$P(\text{las dos})=P(X<50{)}^2={\mathrm{0,2643}}^2\approx \mathrm{0,0699}$

La probabilidad de que las dos mandarinas midan menos de $50$ mm es $\mathrm{0,0699}$, aproximadamente una de cada catorce parejas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{habiendo}}\mathbf{\text{escogido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mandarina,}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{mm.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos probabilidades acumuladas, y las dos están ya calculadas en los apartados anteriores.

$P(40<X<50)=P(X<50)-P(X<40)=\mathrm{0,2643}-\mathrm{0,1056}=\mathrm{0,1587}$



La probabilidad de que una mandarina tenga un diámetro entre $40$ y $50$ mm es $\mathrm{0,1587}$, es decir, un $\mathrm{15,87}\mathrm{\%}$ de la cosecha.