Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Considere la siguiente función: $f(x)=(x^2-2)e^{2x}$. [2,5 puntos]

a) Halle los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas OX y los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de ordenadas OY. [0,5 puntos]

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Calcule el área comprendida entre la curva $y=f(x)$, el eje OX y las rectas $x=-2$ y $x=1$. [1 punto]

Los cortes con el eje OX salen de resolver $f(x)=0$ y el corte con el eje OY, de evaluar la función en $x=0$. Como la exponencial no se anula nunca, en el primer caso solo puede anularse el paréntesis.

$(x^2-2)e^{2x}=0\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

$f(0)=(0-2)e^0=-2$

La gráfica corta al eje OX en $(-\sqrt{2},0)$ y $(\sqrt{2},0)$, y al eje OY en $(0,-2)$.



La monotonía la decide el signo de la derivada primera. Derivamos el producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{2x}+2(x^2-2)e^{2x}=2e^{2x}(x^2+x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{2x}(x+2)(x-1)$

$2e^{2x}(x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=-2,x=1$

Como $2e^{2x}>0$ para todo $x$, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de la parábola $(x+2)(x-1)$, positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(-2,1)$. Hay por tanto un máximo relativo en $x=-2$ y un mínimo relativo en $x=1$.



Antes de integrar hay que ver el signo de $f$ en el intervalo, porque la integral definida de un trozo por debajo del eje sale negativa. Por el apartado a) la función se anula en $-\sqrt{2}$, que está dentro de $[-2,1]$, mientras que $\sqrt{2}$ queda fuera.

$f(x)\ge 0\text{ en }[-2,-\sqrt{2}],f(x)\le 0\text{ en }[-\sqrt{2},1]$



Calculamos una primitiva integrando dos veces por partes, tomando cada vez el polinomio como factor a derivar.

$\{\begin{array}{ll}u=x^2-2& du=2xdx\\ dv=e^{2x}dx& v={\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}\end{array}$

$\int (x^2-2)e^{2x}dx={\displaystyle \frac{(x^2-2)e^{2x}}{2}}-\int x{e}^{2x}dx$

$\int x{e}^{2x}dx={\displaystyle \frac{x{e}^{2x}}{2}}-\int {\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}dx={\displaystyle \frac{x{e}^{2x}}{2}}-{\displaystyle \frac{e^{2x}}{4}}$

$F(x)={\displaystyle \frac{(x^2-2)e^{2x}}{2}}-{\displaystyle \frac{x{e}^{2x}}{2}}+{\displaystyle \frac{e^{2x}}{4}}={\displaystyle \frac{(2x^2-2x-3)e^{2x}}{4}}$

Aplicamos la regla de Barrow en cada uno de los dos trozos.

$A_1={\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}f(x)dx={\displaystyle \frac{(1+2\sqrt{2})e^{-2\sqrt{2}}}{4}}-{\displaystyle \frac{9e^{-4}}{4}}\approx \mathrm{0,0566}-\mathrm{0,0412}=\mathrm{0,0154}$

$A_2={\int }_{-\sqrt{2}}^{1}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{3e^2}{4}}-{\displaystyle \frac{(1+2\sqrt{2})e^{-2\sqrt{2}}}{4}}\approx -\mathrm{5,5418}-\mathrm{0,0566}=-\mathrm{5,5984}$

El segundo sale negativo, como anunciaba el estudio del signo, así que tomamos su valor absoluto al sumar.

$A=\mathrm{\mid }{A}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{A}_2\mathrm{\mid }\approx \mathrm{0,0154}+\mathrm{5,5984}=\mathrm{5,6138}{\text{u}}^2$

El área del recinto es de $\mathrm{5,61}{\text{u}}^2$ aproximadamente; casi todo procede del trozo situado por debajo del eje OX.