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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria ordinaria de 2023. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro

α

{\begin{cases} x + 2 y + 3 z = 1, \\ x + α y + z = 1, \\ 2 x + 3 y + 4 z = 2. \end{cases}

Resuelve el sistema en los casos

α = 1

α = 2

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Calcula el rango de la matriz

A

según los valores del parámetro

α

, siendo

A = (\begin{array}{cccc} α & 0 & α & 0 \\ 3 & α & 0 & α \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \end{array}) .

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Sea

r

la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:

r \equiv {\begin{cases} x + y - z = 1, \\ 2 x + 2 y + z = 2. \end{cases}

a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta

r

.
b) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a

r

y pasa por el punto

P (2, 1, 0)

, que es exterior a

r

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Sean

r

la recta cuya ecuación continua es:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}

, los planos de ecuaciones

π_{1} \equiv x + y + z = 1

π_{2} \equiv x + y - z = 1

P_{1}

el punto de corte de la recta

r

con el plano

π_{1}

P_{2}

el punto de corte de la recta

r

con el plano

π_{2}

. Calcula:

a) las coordenadas de los puntos

P_{1}

P_{2}

;
b) la distancia entre los puntos

P_{1}

P_{2}

;
c) la distancia del punto

P_{1}

al plano

π_{2}

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Sea la función

f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}

. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
La función

f (x) = A x^{2} + B x + C

es creciente en el intervalo

(- \infty, 1)

y decreciente en el intervalo

(1, \infty)

. Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa

x = 2

es perpendicular a la recta de ecuación

y = x + 2

f (0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

. Calcula los valores de los parámetros

A

B

C

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado inferiormente por la curva de ecuación

y = \frac{x^{2}}{4}

y superiormente por las curvas de ecuaciones

y = \frac{4}{x^{2}}

y = 4

. Calcula el área de ese recinto.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Calcula las siguientes integrales:

\int \frac{x^{2} + 4}{(x + 2)^{2}} d x, \int (x + 2) \sin (3 x) d x .

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Árboles de decisión

Ejercicio A5
La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2 % y en el nocturno es del 10 %.
Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,

a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;
b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

Ejercicio B5
Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 18 puntos. El 15 % del alumnado está en el nivel avanzado, el 65 % en el nivel medio y el 20 % restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:

a) 85,5 puntos,
b) 48 puntos.

Ver la solución del ejercicio 10