Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A2
Sea $r$ la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:
$r\equiv \{\begin{array}{l}x+y-z=1,\\ 2x+2y+z=2.\end{array}$

a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta $r$.
b) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y pasa por el punto $P(2,1,0)$, que es exterior a $r$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{param}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos vectores normales: lo obtenemos con el producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,1,-1),{\vec{n}}_2=(2,2,1)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 2& 2& 1\end{array}\mid =(3,-3,0)$

Como solo importa la dirección, tomamos el vector proporcional más sencillo:

${\vec{v}}_r=(1,-1,0)$

Para tener un punto de la recta resolvemos el sistema. Sumando las dos ecuaciones se elimina la $z$:

$(x+y-z)+(2x+2y+z)=1+2\Rightarrow 3x+3y=3\Rightarrow x+y=1$

Llevando esto a la primera ecuación:

$1-z=1\Rightarrow z=0$

Tomando $x=1$ resulta $y=0$, de modo que $P_r(1,0,0)\in r$.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-t\\ z=0\end{array},t\in \mathbb{R}$



La recta pedida pasa por $P$ y por el pie $Q$ de la perpendicular trazada desde $P$ hasta $r$, así que lo primero es localizar ese pie. Un punto genérico de la recta es $Q(1+t,-t,0)$, y el vector $\overrightarrow{PQ}$ debe ser perpendicular al director.

$\overrightarrow{PQ}=(1+t,-t,0)-(2,1,0)=(t-1,-t-1,0)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=0\Rightarrow (t-1)\cdot 1+(-t-1)(-1)+0=0$

$t-1+t+1=0\Rightarrow 2t=0\Rightarrow t=0$

$Q(1,0,0)$

El vector director de la recta buscada es el que une los dos puntos:

$\overrightarrow{PQ}=(1,0,0)-(2,1,0)=(-1,-1,0)$

Cambiando de signo, que no altera la dirección, y tomando $P$ como punto:

$s:\{\begin{array}{l}x=2+\mu \\ y=1+\mu \\ z=0\end{array},\mu \in \mathbb{R}$

Comprobamos que efectivamente corta a $r$ perpendicularmente: para $\mu =-1$ se obtiene el punto $(1,0,0)=Q$, que está en $r$, y el producto escalar de los directores es $1\cdot 1+1\cdot (-1)+0=0$.