Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B3
La función $f(x)=A{x}^2+Bx+C$ es creciente en el intervalo $(-\mathrm{\infty },1)$ y decreciente en el intervalo $(1,\mathrm{\infty })$. Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x=2$ es perpendicular a la recta de ecuación $y=x+2$ y $f(0)={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$. Calcula los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

La función es una parábola, y el enunciado da tres informaciones que se traducen en tres ecuaciones. Empezamos por la derivada, que interviene en las dos primeras.

$f(x)=A{x}^2+Bx+C\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2Ax+B$

i) Que la función crezca antes de $x=1$ y decrezca después significa que en ese punto hay un máximo, es decir, que la derivada se anula ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 2A+B=0$

ii) Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes vale $-1$. La recta $y=x+2$ tiene pendiente $1$, luego la tangente en $x=2$ debe tener pendiente $-1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-1\Rightarrow 4A+B=-1$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$2A=-1\Rightarrow A=-{\displaystyle \frac{1}{2}},B=-2A=1$

Obsérvese que $A<0$, coherente con que la parábola tenga un máximo y no un mínimo.

iii) El término independiente es el valor de la función en el origen, que el enunciado da como un límite. Este presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$ y es uno de los límites notables:

$C=f(0)={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}=1$

Los parámetros son $A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $B=1$ y $C=1$, con lo que la función es:

$f(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+1$