Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Cuestión 3.

Dada la función $f(x)=x^2{e}^{-x}$ definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$, se pide:

a) [1,5 p.] Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) [1 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}$

Derivamos por la regla del producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x(2-x)e^{-x}$

Como $e^{-x}>0$ para todo $x$, el signo de la derivada lo marca el producto $x(2-x)$, que se anula en $x=0$ y $x=2$.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y crece en $(0,2)$. Aplicando el criterio de la primera derivada, en el primer punto pasa de decreciente a creciente y en el segundo al revés.

$f(0)=0,f(2)={\displaystyle \frac{4}{e^2}}\approx \mathrm{0,5413}$

Hay un mínimo relativo en $(0,0)$ y un máximo relativo en $(2,{\displaystyle \frac{4}{e^2}})$.





Por la izquierda no hay indeterminación: los dos factores crecen sin límite.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x}=(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$

Por la derecha aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$, que convertimos en cociente y resolvemos aplicando L'Hôpital dos veces.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{e^x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{e^x}}=0$

La función tiende a infinito por la izquierda y a cero por la derecha, de modo que $y=0$ es asíntota horizontal solo por ese lado.