Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4: Sentido de la medida (2 puntos)

Opción 4.1. Justifique que la derivada de la función $f(x)=e^x(x-1)+1-x$ se anula en algún punto del intervalo $(0,1)$.

Que la derivada se anule en un punto interior del intervalo es exactamente la conclusión del teorema de Rolle, así que basta comprobar sus tres hipótesis sobre $[0,1]$.

En primer lugar, $f$ es suma y producto de una exponencial y de polinomios, funciones continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$; en particular es continua en $[0,1]$ y derivable en $(0,1)$.

Queda la tercera condición, que la función tome el mismo valor en los dos extremos. La evaluamos:

$f(0)=e^0(0-1)+1-0=-1+1=0$

$f(1)=e^1(1-1)+1-1=0$

$f(0)=f(1)=0$

Se cumplen las tres hipótesis, luego por el teorema de Rolle existe al menos un punto $c\in (0,1)$ en el que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$, que es lo que se pedía justificar.

Podemos además localizarlo. Aplicando la regla del producto:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x(x-1)+e^x-1=x{e}^x-1$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-1<0,f^{\mathrm{\prime }}(1)=e-1>0$

Por el teorema de Bolzano, $f^{\mathrm{\prime }}$ se anula en $(0,1)$, y al ser $f^{\mathrm{\prime }}$ estrictamente creciente ahí, ese punto es único: es la solución de $c{e}^c=1$, aproximadamente $c\approx \mathrm{0,567}$.