Examen de Matemáticas II de Región de Murcia 2021 (convocatoria extraordinaria)

Cuestión 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}x+ay-z=0\\ 2x+y+az=0\\ x+5y-az=a+1\end{array}$

a) [0,75 p.] Determine para que valores de $a$ el sistema tiene solución única.

b) [1 p.] Determine para que valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuelvalo en ese caso.

c) [0,75 p.] Determine para que valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Cuestión 2.

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}2& a\\ -1& 2\end{array}\right)$.

a) [1 p.] Si se denota por $\mathrm{tr}(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2=\mathrm{tr}(A)A-\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

b) [0,5 p.] Determine para que valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).

c) [1 p.] Para $a=-3$, resuelva la ecuación matricial $AX-A^t=A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

Cuestión 3.

Dada la función $f(x)=x^2{e}^{-x}$ definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$, se pide:

a) [1,5 p.] Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) [1 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

Cuestión 4.

a) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida ${\displaystyle \int x\mathrm{sen}(x^2)dx}$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitucion).

b) [1 p.] Determine el menor valor de $a>0$ para el cual se cumple ${\displaystyle {\int }_0^{a}x\mathrm{sen}(x^2)dx=1}$.

Cuestión 5.

Considere las rectas de ecuaciones
$r:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$ y $s:\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ y+z=1\end{array}$

a) [0,75 p.] Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.

b) [1 p.] Determine el ángulo que forman las dos rectas.

c) [0,75 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.

Cuestión 6.

Los puntos $A=(2,0,0)$ y $B=(-1,12,4)$ son dos vertices de un triangulo. El tercer vertice $C$ se encuentra en la recta $r$ dada por
$r:\{\begin{array}{l}4x+3z=33\\ y=0\end{array}$

a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del tercer vertice $C$ sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$.

b) [1 p.] Determine si el triangulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en $A$ y calcule su area.

Cuestión 7.

Una urna contiene cinco bolas negras, numeradas del 1 al 5, y siete bolas blancas, numeradas del 1 al 7. Se saca de la urna una bola al azar. Calcule:

a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca.

b) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola este numerada con un número par.

c) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola este numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.

d) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca y este numerada con un número par.

e) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que esta numerada con un número par.

Cuestión 8.

Juan es un estudiante bastante despistado y su tutora esta cansada de que llegue tarde a clase. El se defiende diciendo que no es para tanto y que la tutora le tiene mania. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 9 días Juan llega tarde como mucho 2 días, la tutora le sube 1 punto en la nota final de la evaluacion. Sabiendo que la probabilidad de que Juan llegue tarde a clase cada dia es 0,45, determine:

a) [1 p.] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b) [0,5 p.] ¿Cual es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [1 p.] ¿Cual es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?