Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Cuestión 8.

Juan es un estudiante bastante despistado y su tutora esta cansada de que llegue tarde a clase. El se defiende diciendo que no es para tanto y que la tutora le tiene mania. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 9 días Juan llega tarde como mucho 2 días, la tutora le sube 1 punto en la nota final de la evaluacion. Sabiendo que la probabilidad de que Juan llegue tarde a clase cada dia es 0,45, determine:

a) [1 p.] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b) [0,5 p.] ¿Cual es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [1 p.] ¿Cual es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Juan}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros?}}$

Sea $X$ el número de días, de los nueve, en que Juan llega tarde. Cada día es una prueba independiente con dos resultados posibles y probabilidad de éxito constante, y el número de pruebas es fijo: se trata de una binomial.

$X\sim B(9;\mathrm{0,45})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Aplicamos las fórmulas de la binomial, con $q=1-p=\mathrm{0,55}$.

$\mu =np=9\cdot \mathrm{0,45}=\mathrm{4,05}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{9\cdot \mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,55}}=\sqrt{\mathrm{2,2275}}\approx \mathrm{1,49}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Juan}}\mathbf{\text{consiga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ansiada}}\mathbf{\text{subida}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{final?}}$

Juan consigue la subida si llega tarde como mucho dos días, es decir, si $X\le 2$. Como son solo tres términos, los sumamos directamente sin aproximar.

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{k}\right)(\mathrm{0,45}{)}^k(\mathrm{0,55}{)}^{9-k}$

$P(X=0)=(\mathrm{0,55}{)}^9=\mathrm{0,0046}$

$P(X=1)=9\cdot \mathrm{0,45}\cdot (\mathrm{0,55}{)}^8=\mathrm{0,0339}$

$P(X=2)=36\cdot (\mathrm{0,45}{)}^2\cdot (\mathrm{0,55}{)}^7=\mathrm{0,1110}$

$P(X\le 2)=\mathrm{0,0046}+\mathrm{0,0339}+\mathrm{0,1110}=\mathrm{0,1495}$

La probabilidad de que Juan consiga el punto extra es de solo $\mathrm{0,1495}$, un $\mathrm{14,95}\mathrm{\%}$: con una media de algo más de cuatro retrasos, el trato le sale caro.