Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par.

a) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones. [1,25 puntos]

b) Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que $3\mathrm{/}4$. Justifique si esta afirmación es cierta o no. [1,25 puntos]

En cada jugada de la ruleta hay 25 resultados igualmente probables y son favorables los números pares del 1 al 25, que son 12: el 2, el 4, …, el 24. Por tanto, la probabilidad de ganar una jugada es

$p={\displaystyle \frac{12}{25}}=\mathrm{0,48},q=1-p=\mathrm{0,52}$

Como las jugadas son independientes y en todas se repite la misma probabilidad, el número de partidas ganadas sigue una distribución binomial. En los dos apartados $n$ es grande y se cumplen $np>5$ y $nq>5$, así que la binomial se aproxima por una normal de igual media y desviación típica, aplicando la corrección por continuidad al pasar de la variable discreta a la continua.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{juega}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{veces,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ocasiones.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$X\sim B(100;\mathrm{0,48})$

$\mu =np=100\cdot \mathrm{0,48}=48$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,52}}=\sqrt{\mathrm{24,96}}\approx 5$

$X^{\mathrm{\prime }}\sim N(48;5)$

Ganar en más de la mitad de las 100 ocasiones significa ganar 51 partidas o más.

$P(X\ge 51)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}>\mathrm{50,5})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{50,5}-48}{5}})=P(Z>\mathrm{0,50})$

$=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,50})=1-\mathrm{0,6915}=\mathrm{0,3085}$



La probabilidad de ganar en más de la mitad de las 100 jugadas es $\mathrm{0,3085}$, es decir, un $\mathrm{30,85}\mathrm{\%}$.



$X\sim B(200;\mathrm{0,48})$

$\mu =200\cdot \mathrm{0,48}=96$

$\sigma =\sqrt{200\cdot \mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,52}}=\sqrt{\mathrm{49,92}}\approx \mathrm{7,07}$

$X^{\mathrm{\prime }}\sim N(96;\mathrm{7,07})$

$P(90\le X\le 110)\approx P(\mathrm{89,5}<X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{110,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{89,5}-96}{\mathrm{7,07}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{110,5}-96}{\mathrm{7,07}}})=P(-\mathrm{0,92}<Z<\mathrm{2,05})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,05})-[1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,92})]=\mathrm{0,9798}-(1-\mathrm{0,8212})$

$=\mathrm{0,9798}-\mathrm{0,1788}=\mathrm{0,8010}$



La probabilidad de ganar entre 90 y 110 de las 200 jugadas es $\mathrm{0,8010}$, y ${\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$. Como $\mathrm{0,8010}>\mathrm{0,75}$, la afirmación del jugador no es cierta.