Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

El 10 % de la población de Canarias tiene alergia a la flor del olivo. Con esta información, responda a las siguientes preguntas:

a) En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? [1 punto]

b) Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? [1 punto]

c) En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de individuos alérgicos a la flor del olivo de la muestra. Cada individuo lo es o no lo es, con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=\mathrm{0,10},q=1-p=\mathrm{0,90}$

En los dos primeros apartados el tamaño de la muestra es grande y se cumplen $np>5$ y $nq>5$, así que la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica, con la correspondiente corrección por continuidad.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{individuos,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{seleccionados}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{alergia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{olivo?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$X\sim B(100;\mathrm{0,10})$

$\mu =np=100\cdot \mathrm{0,10}=10$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,90}}=\sqrt{9}=3$

Más de 12 individuos significa 13 o más.

$P(X\ge 13)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}>\mathrm{12,5})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{12,5}-10}{3}})=P(Z>\mathrm{0,83})$

$=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,83})=1-\mathrm{0,7967}=\mathrm{0,2033}$



La probabilidad de que más de 12 individuos de los 100 sean alérgicos es $\mathrm{0,2033}$, es decir, un $\mathrm{20,33}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{individuos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{32}}\mathbf{\text{seleccionados}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{alergia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{olivo?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$X\sim B(400;\mathrm{0,10})$

$\mu =400\cdot \mathrm{0,10}=40$

$\sigma =\sqrt{400\cdot \mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,90}}=\sqrt{36}=6$

Menos de 32 individuos significa 31 o menos.

$P(X\le 31)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{31,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{31,5}-40}{6}})=P(Z<-\mathrm{1,42})$

$=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,42})=1-\mathrm{0,9222}=\mathrm{0,0778}$



La probabilidad de que menos de 32 individuos de los 400 sean alérgicos es $\mathrm{0,0778}$, es decir, un $\mathrm{7,78}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{individuos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alergia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{olivo?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario, cuya probabilidad es $q=\mathrm{0,90}$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad. No hace falta ninguna aproximación.

$\mu =nq=500\cdot \mathrm{0,90}=450$

En una muestra de 500 individuos cabe esperar que 450 no tengan alergia a la flor del olivo.