Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.

a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos? [1 punto]

b) Compruebe si es cierta la siguiente afirmación: «En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5 % de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos». [1 punto]

c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de análisis erróneos. Cada análisis lo es o no lo es, con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p={\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{0,08},q=1-p=\mathrm{0,92}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{prueba,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{err}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{neos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

$X\sim B(10;\mathrm{0,08})$

Con solo 10 pruebas no procede aproximar por una normal: se aplica directamente la fórmula de la binomial.

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{3}\right){\mathrm{0,08}}^3\cdot {\mathrm{0,92}}^7=120\cdot \mathrm{0,000512}\cdot \mathrm{0,5578}\approx \mathrm{0,0343}$

La probabilidad de que exactamente 3 de los 10 análisis sean erróneos es $\mathrm{0,0343}$, es decir, un $\mathrm{3,43}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{cierta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{afirmaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n:}}\mathbf{\text{«En}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{realizados}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{prueba,}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{posibilidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{encontrar}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{err}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{neos».}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que haya más de dos análisis erróneos reúne ocho valores distintos de la variable, de 3 a 10, así que sale mucho más corto pasar al suceso contrario: que haya dos o menos.

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{0}\right){\mathrm{0,08}}^0\cdot {\mathrm{0,92}}^{10}={\mathrm{0,92}}^{10}\approx \mathrm{0,4344}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right){\mathrm{0,08}}^1\cdot {\mathrm{0,92}}^9=10\cdot \mathrm{0,08}\cdot \mathrm{0,4722}\approx \mathrm{0,3777}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right){\mathrm{0,08}}^2\cdot {\mathrm{0,92}}^8=45\cdot \mathrm{0,0064}\cdot \mathrm{0,5132}\approx \mathrm{0,1478}$

$P(X\le 2)=\mathrm{0,4344}+\mathrm{0,3777}+\mathrm{0,1478}\approx \mathrm{0,9599}$

$P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-\mathrm{0,9599}=\mathrm{0,0401}$

La probabilidad de encontrar más de dos análisis erróneos es del $\mathrm{4,01}\mathrm{\%}$, que no llega al $5\mathrm{\%}$. La afirmación es, por tanto, cierta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{prueba,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{correctos?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario del anterior, cuya probabilidad es $q=\mathrm{0,92}$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad.

$\mu =nq=100\cdot \mathrm{0,92}=92$

De 100 análisis realizados con esta prueba cabe esperar que 92 sean correctos.