Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es 0,5, determine:

a) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Luis}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sea $X$ el número de días que Luis llega tarde en los próximos $10$ días. El experimento se repite un número fijo de veces, cada día solo caben dos resultados —llegar tarde o no llegar tarde—, la probabilidad de llegar tarde es la misma todos los días y lo que ocurre un día no influye en los demás. Se trata, por tanto, de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(10;\mathrm{0,5})$

La variable sigue una distribución binomial de parámetros $n=10$ y $p=\mathrm{0,5}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu =np=10\cdot \mathrm{0,5}=5$

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}=\sqrt{\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{1,5811}$

Luis llega tarde, por término medio, $5$ días de cada $10$, con una desviación típica de $\mathrm{1,5811}$ días.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Luis}}\mathbf{\text{consiga}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{subida}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{final?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Luis consigue la subida si llega tarde como mucho tres días, es decir, si $X\le 3$. Sumamos las probabilidades de los cuatro casos favorables usando la función de probabilidad de la binomial.

$P(X\le 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{k}\right)(\mathrm{0,5}{)}^k(\mathrm{0,5}{)}^{10-k}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{k}\right)(\mathrm{0,5}{)}^{10}={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{k}\right)}{1024}}$

$P(X\le 3)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{3}\right)}{1024}}={\displaystyle \frac{1+10+45+120}{1024}}$

$P(X\le 3)={\displaystyle \frac{176}{1024}}={\displaystyle \frac{11}{64}}\approx \mathrm{0,1719}$

La probabilidad de que Luis consiga la subida de un punto es $\mathrm{0,1719}$, es decir, un $\mathrm{17,19}\mathrm{\%}$.