Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Durante el día de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortográficos con una probabilidad de 0,3. Calcule:

a) La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de que escriba 4 o más mensajes con errores. [0,75 puntos]

c) La media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de mensajes con errores ortográficos de los quince que escribe. Cada mensaje tiene solo dos resultados posibles, la probabilidad de error es la misma en todos y unos no influyen en otros, luego se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(15;\mathrm{0,3})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{mensajes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{errores}}\mathbf{\text{ortogr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=5$.

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{5}\right)(\mathrm{0,3}{)}^5(\mathrm{0,7}{)}^{10}=3003\cdot \mathrm{0,00243}\cdot \mathrm{0,0282475}=\mathrm{0,2061}$

La probabilidad de que escriba exactamente cinco mensajes con errores es $\mathrm{0,2061}$, es decir, un $\mathrm{20,61}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{mensajes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{errores.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Calcular $P(X\ge 4)$ directamente obligaría a sumar doce términos, así que pasamos al suceso contrario, que solo tiene cuatro.

$P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]$

$P(X=0)=(\mathrm{0,7}{)}^{15}=\mathrm{0,0047}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{1}\right)(\mathrm{0,3})(\mathrm{0,7}{)}^{14}=\mathrm{0,0305}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{2}\right)(\mathrm{0,3}{)}^2(\mathrm{0,7}{)}^{13}=\mathrm{0,0916}$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{3}\right)(\mathrm{0,3}{)}^3(\mathrm{0,7}{)}^{12}=\mathrm{0,1700}$

$P(X\le 3)=\mathrm{0,0047}+\mathrm{0,0305}+\mathrm{0,0916}+\mathrm{0,1700}=\mathrm{0,2969}$

$P(X\ge 4)=1-\mathrm{0,2969}=\mathrm{0,7031}$

La probabilidad de que escriba cuatro o más mensajes con errores es $\mathrm{0,7031}$, es decir, un $\mathrm{70,31}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu =np=15\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{4,5}$

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{15\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}}=\sqrt{\mathrm{3,15}}\approx \mathrm{1,7748}$

Por término medio escribe $\mathrm{4,5}$ mensajes con errores de cada quince, con una desviación típica de $\mathrm{1,7748}$ mensajes.