Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35 % visitaron Aragón. Seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.

a) Razone, sin hacer uso de la calculadora: ¿qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma? [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Razone,}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{uso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calculadora:}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{turistas}}\mathbf{\text{visitaran}}\mathbf{\text{Arag}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{visitaron}}\mathbf{\text{nuestra}}\mathbf{\text{Comunidad}}\mathbf{\text{Aut}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{noma?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se eligen 7 turistas de manera independiente y de cada uno interesa solo si visitó Aragón o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial.

$X\equiv$ número de turistas, de los 7 elegidos, que visitaron Aragón

$X\sim B(7;\mathrm{0,35})\Rightarrow P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{k}\right){\mathrm{0,35}}^k{\mathrm{0,65}}^{7-k}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{2}\right){\mathrm{0,35}}^2{\mathrm{0,65}}^5;P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{5}\right){\mathrm{0,35}}^5{\mathrm{0,65}}^2$

Los dos números combinatorios son iguales, porque $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{5}\right)=21$. Basta entonces comparar el resto, y para eso se dividen las dos probabilidades en lugar de calcularlas:

${\displaystyle \frac{P(X=2)}{P(X=5)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{0,35}}^2{\mathrm{0,65}}^5}{{\mathrm{0,35}}^5{\mathrm{0,65}}^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{0,65}}^3}{{\mathrm{0,35}}^3}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,65}}{\mathrm{0,35}}}\right)}^3={\left({\displaystyle \frac{13}{7}}\right)}^3$

${\displaystyle \frac{13}{7}}>1\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{13}{7}}\right)}^3>1\Rightarrow P(X=2)>P(X=5)$

Es más probable que fueran 2 los turistas que visitaron Aragón que no que fueran 5; de hecho el cociente vale $\frac{2197}{343}\approx \mathrm{6,4}$, así que es unas seis veces y media más probable. El razonamiento es coherente con que la media de la distribución, $\mu =np=7\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{2,45}$, está mucho más cerca de 2 que de 5.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{turistas}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{visitado}}\mathbf{\text{Arag}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que alguno haya visitado Aragón quiere decir uno o más, es decir, $X\ge 1$. Sumar los siete casos sería largo; el suceso contrario es que no lo visitara ninguno, que tiene un solo caso.

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{0}\right){\mathrm{0,35}}^0{\mathrm{0,65}}^7={\mathrm{0,65}}^7=\mathrm{0,0490}$

$P(X\ge 1)=1-\mathrm{0,0490}=\mathrm{0,9510}$

La probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón es $\mathrm{0,9510}$, es decir, un $\mathrm{95,10}\mathrm{\%}$.