Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Para una prueba de Bachillerato se ha preparado un cuestionario tipo test de 4 preguntas con 5 respuestas posibles a cada pregunta. Cada pregunta correctamente respondida suma 2,5 puntos. Por cada respuesta incorrecta se restan 0,625 puntos. Si no se contesta a la pregunta, se puntúa con 0.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente? [1 punto]

Antes de calcular ninguna probabilidad conviene traducir la nota a número de aciertos. Si se contestan las cuatro preguntas y se acierta en $k$ de ellas, se falla en las $4-k$ restantes, de modo que

$\text{nota}(k)=\mathrm{2,5}k-\mathrm{0,625}(4-k)=\mathrm{3,125}k-\mathrm{2,5}$

Aciertos	0	1	2	3	4 Nota	$-\mathrm{2,5}$	$\mathrm{0,625}$	$\mathrm{3,75}$	$\mathrm{6,875}$	$10$

Como cada pregunta tiene cinco respuestas posibles y solo una correcta, contestar al azar acierta con probabilidad $\frac{1}{5}$, y las cuatro preguntas son independientes. Llamando $X$ al número de aciertos:

$X\sim B(4,{\displaystyle \frac{1}{5}}),P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{k}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^{4-k}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{sobresaliente}}\mathbf{\text{(nota}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{9)}}\mathbf{\text{contestando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{aleatoriamente?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Buscamos primero cuántos aciertos hacen falta para llegar al 9.

$\mathrm{3,125}k-\mathrm{2,5}\ge 9\Rightarrow k\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{11,5}}{\mathrm{3,125}}}=\mathrm{3,68}$

Como $k$ es un número entero de preguntas, la única posibilidad es acertarlas las cuatro.

$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{4}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^4{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^0={\displaystyle \frac{1}{625}}=\mathrm{0,0016}$

La probabilidad de sacar sobresaliente contestando al azar es $\frac{1}{625}=\mathrm{0,0016}$, es decir, algo más de una posibilidad entre seiscientas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{suspender}}\mathbf{\text{(nota}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{5)}}\mathbf{\text{contestando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{aleatoriamente?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Procedemos igual: vemos qué número de aciertos deja la nota por debajo de 5.

$\mathrm{3,125}k-\mathrm{2,5}<5\Rightarrow k<{\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{3,125}}}=\mathrm{2,4}$

Se suspende, por tanto, con 0, 1 o 2 aciertos, es decir, fallando más de una pregunta. Resulta más corto calcular la probabilidad del suceso contrario:

$P(X\le 2)=1-P(X=3)-P(X=4)$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{3}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{125}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{16}{625}}=\mathrm{0,0256}$

$P(X\le 2)=1-{\displaystyle \frac{16}{625}}-{\displaystyle \frac{1}{625}}=1-{\displaystyle \frac{17}{625}}={\displaystyle \frac{608}{625}}=\mathrm{0,9728}$

La probabilidad de suspender contestando las cuatro preguntas al azar es $\frac{608}{625}=\mathrm{0,9728}$.