Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

En una fábrica de componentes electrónicos se sabe que el 6 % de las piezas que se fabrican son defectuosas. En el proceso de control de calidad se toma una pieza al azar y se introduce en un sistema de prueba/fallo. Se sabe que la probabilidad de que el sistema dé fallo si la pieza es defectuosa es del 95 %, mientras que la probabilidad de que lo haga si la pieza no es defectuosa es del 4 %.

a) Si se seleccionan 10 piezas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa? [1,25 puntos]

b) Determine la probabilidad de que, si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{seleccionan}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{piezas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada pieza es defectuosa con probabilidad $\mathrm{0,06}$, independientemente de las demás, así que el número de defectuosas entre las diez sigue una binomial $X\sim B(10;\mathrm{0,06})$.

Calcular «al menos una» sumando diez términos sería largo; se pasa al suceso contrario:

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{0}\right){\mathrm{0,06}}^0(1-\mathrm{0,06}{)}^{10}=1-{\mathrm{0,94}}^{10}$

${\mathrm{0,94}}^{10}=\mathrm{0,5386}$

$P(X\ge 1)=1-\mathrm{0,5386}=\mathrm{0,4614}$

La probabilidad de que haya al menos una pieza defectuosa entre las diez es $\mathrm{0,4614}$, es decir, un 46,1 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{fallo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran $D=$ «la pieza es defectuosa» y $F=$ «el sistema da fallo». Los datos son

$P(D)=\mathrm{0,06}P(F\mathrm{\mid }D)=\mathrm{0,95}P(F\mathrm{\mid }\bar{D})=\mathrm{0,04}$

y el experimento tiene dos etapas, que se organizan en un árbol:



Como $D$ y $\bar{D}$ forman un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $\bar{F}$:

$P(\bar{F})=P(D)P(\bar{F}\mathrm{\mid }D)+P(\bar{D})P(\bar{F}\mathrm{\mid }\bar{D})$

$P(\bar{F})=\mathrm{0,06}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,94}\cdot \mathrm{0,96}=\mathrm{0,003}+\mathrm{0,9024}$

$P(\bar{F})=\mathrm{0,9054}$

La probabilidad de que la prueba no indique fallo es $\mathrm{0,9054}$, un 90,5 %.

Conviene fijarse en la composición de ese número: de cada 10 000 piezas, 30 son defectuosas y pasan la prueba (falsos negativos) y 9024 son correctas y la pasan. El control deja escapar, por tanto, una de cada trescientas piezas defectuosas que examina.