Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Cuestión 4B.

El 2 % de las piezas fabricadas por una máquina son defectuosas.

a) [1] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 10 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 1 pieza defectuosa.
b) [1,5] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 2000 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de 50 piezas defectuosas.

El $2\mathrm{\%}$ de las piezas son defectuosas, así que la probabilidad de que una pieza esté en buen estado es $p=\mathrm{0,98}$ y la de que no lo esté, $q=\mathrm{0,02}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Considere}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piezas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{buen}}\mathbf{\text{estado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{piezas.}}\mathbf{\text{Diga}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{es,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{defectuosa.}}$

Cada pieza está o no en buen estado, con probabilidad constante e independientemente de las demás, y el número de pruebas es fijo: se trata de una binomial.

$X\sim B(10;\mathrm{0,98})$

$\mu =np=10\cdot \mathrm{0,98}=\mathrm{9,8}\text{ piezas}$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{10\cdot \mathrm{0,98}\cdot \mathrm{0,02}}=\sqrt{\mathrm{0,196}}\approx \mathrm{0,4427}\text{ piezas}$

Que haya exactamente una pieza defectuosa equivale a que haya nueve en buen estado, así que aplicamos la función de probabilidad a $X=9$.

$P(X=9)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{9}\right)(\mathrm{0,98}{)}^9(\mathrm{0,02}{)}^1=10\cdot \mathrm{0,833748}\cdot \mathrm{0,02}$

$P(X=9)=\mathrm{0,1667}$

La probabilidad de que el lote traiga exactamente una pieza defectuosa es $\mathrm{0,1667}$, es decir, un $\mathrm{16,67}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5]}}\mathbf{\text{Considere}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piezas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{buen}}\mathbf{\text{estado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{piezas.}}\mathbf{\text{Diga}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{es,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{piezas}}\mathbf{\text{defectuosas.}}$

La variable sigue siendo binomial, pero ahora con dos mil pruebas.

$X\sim B(2000;\mathrm{0,98})$

$\mu =np=1960\text{ piezas},\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{\mathrm{39,2}}\approx \mathrm{6,26}\text{ piezas}$

Calcularla directamente exigiría sumar cientos de términos, así que la aproximamos por una normal de la misma media y desviación típica, cosa lícita porque $np=1960$ y $nq=40$ son ambos mayores que 5.

$X\approx N(1960;\mathrm{6,26})$

Traducimos el suceso al número de piezas buenas: que haya menos de 50 defectuosas equivale a que haya más de $2000-50=1950$ en buen estado.

$P(X>1950)=P(Z>{\displaystyle \frac{1950-1960}{\mathrm{6,26}}})=P(Z>-\mathrm{1,60})$

Por la simetría de la campana llevamos el valor al semieje positivo y consultamos la tabla:

$P(Z>-\mathrm{1,60})=P(Z<\mathrm{1,60})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,60})=\mathrm{0,9452}$

La probabilidad de que en el lote haya menos de cincuenta piezas defectuosas es $\mathrm{0,9452}$, casi un $95\mathrm{\%}$.