Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Cuestión 8.

Trabaje con 4 cifras decimales para las probabilidades y con 2 para los porcentajes.

Una fábrica de componentes de ordenador produce 2500 microprocesadores al día. El porcentaje de microprocesadores defectuosos fabricados es del 2 %; responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) [0,5] ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de microprocesadores defectuosos fabricados al día?
b) [0,5] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
c) [0,75] ¿Cuál es la probabilidad de que el número de microprocesadores defectuosos fabricados sea menor o igual que 57?
d) [0,75] ¿Cuál es la probabilidad de que el número de microprocesadores defectuosos fabricados sea exactamente 50?

Sea $X$ el número de microprocesadores defectuosos entre los $2500$ que se fabrican al día, sabiendo que cada uno lo es con probabilidad $p=\mathrm{0,02}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{microprocesadores}}\mathbf{\text{defectuosos}}\mathbf{\text{fabricados}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}$

Cada microprocesador es defectuoso o no lo es, con probabilidad constante e independientemente de los demás, y el número de pruebas es fijo: se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(2500;\mathrm{0,02})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Aplicamos las fórmulas de la binomial, con $q=1-p=\mathrm{0,98}$.

$\mu =np=2500\cdot \mathrm{0,02}=50\text{ microprocesadores}$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{2500\cdot \mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,98}}=\sqrt{49}=7\text{ microprocesadores}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{microprocesadores}}\mathbf{\text{defectuosos}}\mathbf{\text{fabricados}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{57?}}$

Sumar los cincuenta y ocho términos de la binomial no es viable, y como $np=50$ y $nq=2450$ son ambos mayores que 5, la aproximamos por una normal de la misma media y desviación típica.

$X\approx N(50,7)$

Al pasar de variable discreta a continua aplicamos la corrección de continuidad, que lleva el corte de 57 a 57,5.

$P(X\le 57)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{57,5})=P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{57,5}-50}{7}})=P(Z\le \mathrm{1,07})$

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,07})=\mathrm{0,8577}$

La probabilidad de que en un día haya como mucho 57 microprocesadores defectuosos es $\mathrm{0,8577}$, un $\mathrm{85,77}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{microprocesadores}}\mathbf{\text{defectuosos}}\mathbf{\text{fabricados}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{50?}}$

En una variable continua un valor aislado tiene probabilidad nula, de modo que la corrección de continuidad convierte el 50 en la franja de amplitud uno centrada en él.

$P(X=50)\approx P(\mathrm{49,5}\le X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{50,5})$

$z_1={\displaystyle \frac{\mathrm{49,5}-50}{7}}\approx -\mathrm{0,07},z_2={\displaystyle \frac{\mathrm{50,5}-50}{7}}\approx \mathrm{0,07}$

Por la simetría de la campana el área central se obtiene como

$P(-\mathrm{0,07}\le Z\le \mathrm{0,07})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,07})-1=2\cdot \mathrm{0,5279}-1=\mathrm{0,0558}$

La probabilidad de que salgan exactamente 50 microprocesadores defectuosos es de solo $\mathrm{0,0558}$, un $\mathrm{5,58}\mathrm{\%}$, pese a ser el valor más probable de todos.