Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En una comunidad autónoma tres de cada cinco alumnos de segundo de bachillerato están matriculados en la asignatura de Matemáticas II. Se eligen 6 alumnos al azar de entre todos los alumnos de segundo de bachillerato. Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente cuatro de ellos estén matriculados en Matemáticas II.
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos esté matriculado en Matemáticas II.
c) (1 punto) Si en un instituto hay matriculados en segundo de bachillerato 120 alumnos, calcular, aproximando la distribución binomial mediante una distribución normal, la probabilidad de que más de 60 de estos alumnos estén matriculados en Matemáticas II.

Llamamos $X$ al número de alumnos matriculados en Matemáticas II entre los elegidos. Cada elección es una prueba independiente con la misma probabilidad de éxito, así que sigue una binomial.

$p={\displaystyle \frac{3}{5}}=\mathrm{0,6}\Rightarrow X\sim B(6;\mathrm{0,6})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matriculados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas}}\mathbf{\text{II.}}$

$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{4}\right){\mathrm{0,6}}^4{\mathrm{0,4}}^2=15\cdot \mathrm{0,1296}\cdot \mathrm{0,16}$

$P(X=4)=\mathrm{0,31104}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{matriculado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas}}\mathbf{\text{II.}}$

El suceso contrario, que ninguno lo esté, se calcula con un solo producto.

$P(X>0)=1-P(X=0)=1-{\mathrm{0,4}}^6=1-\mathrm{0,004096}$

$P(X>0)=\mathrm{0,995904}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{instituto}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{matriculados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bachillerato}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{alumnos,}}\mathbf{\text{calcular,}}\mathbf{\text{aproximando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{binomial}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matriculados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas}}\mathbf{\text{II.}}$

Con 120 alumnos la binomial cambia de parámetros; calculamos su media y su desviación típica.

$X\sim B(120;\mathrm{0,6})\Rightarrow \mu =np=72;\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{120\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,4}}=\mathrm{5,37}$

Como $np$ y $nq$ superan holgadamente 5, la aproximamos por una normal y aplicamos la corrección de continuidad. «Más de 60» significa 61 o más, es decir, a partir de $\mathrm{60,5}$.

$X^{\mathrm{\prime }}\sim N(72;\mathrm{5,37})$

$P(X>60)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{60,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{60,5}-72}{\mathrm{5,37}}})=P(Z\ge -\mathrm{2,14})$

$P(Z\ge -\mathrm{2,14})=P(Z\le \mathrm{2,14})=\mathrm{0,9838}$