Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

8. Estadística y Probabilidad:
El portador de una cierta enfermedad tiene un 10% de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule:

a) La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.
b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.

Sea $X$ el número de personas contagiadas de entre las 8 con las que el portador entra en contacto. Cada una se contagia o no con probabilidad constante e independientemente de las demás, y el número de contactos es fijo, así que

$X\sim B(8;\mathrm{0,10})$

y la fórmula que usaremos en los dos apartados es $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{k}\right)(\mathrm{0,1}{)}^k(\mathrm{0,9}{)}^{8-k}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contagie}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{personas.}}$

«Un máximo de 2» significa 0, 1 o 2 contagios.

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{0}\right)(\mathrm{0,1}{)}^0(\mathrm{0,9}{)}^8={\mathrm{0,9}}^8=\mathrm{0,4305}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)(\mathrm{0,1}{)}^1(\mathrm{0,9}{)}^7=8\cdot \mathrm{0,1}\cdot {\mathrm{0,9}}^7=\mathrm{0,3826}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{2}\right)(\mathrm{0,1}{)}^2(\mathrm{0,9}{)}^6=28\cdot \mathrm{0,01}\cdot {\mathrm{0,9}}^6=\mathrm{0,1488}$

$P(X\le 2)=\mathrm{0,4305}+\mathrm{0,3826}+\mathrm{0,1488}=\mathrm{0,9619}$

La probabilidad de que contagie como mucho a 2 personas es de 0,9619, más del 96 % de los casos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contagie}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{menos.}}$

«Por lo menos 2» es el suceso contrario de «como mucho 1», que solo tiene dos sumandos y ya están calculados.

$P(X\ge 2)=1-P(X<2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]$

$P(X\ge 2)=1-(\mathrm{0,4305}+\mathrm{0,3826})=1-\mathrm{0,8131}=\mathrm{0,1869}$

La probabilidad de que contagie al menos a 2 personas es de 0,1869, algo menos del 19 % de los casos.