Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Ejercicio B5
En una ciudad se han elegido al azar 3900 personas. Hallar:

a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.
b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.

Cada una de las personas elegidas cumple años el día del patrón o no, con la misma probabilidad en todos los casos e independientes entre sí. Tomando el año de $365$ días, esa probabilidad es $\frac{1}{365}$, y la variable $X$ que cuenta cuántas personas lo cumplen sigue una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(3900;{\displaystyle \frac{1}{365}})$

Comprobamos que se puede aproximar por una normal:

$np={\displaystyle \frac{3900}{365}}=\mathrm{10,68}\ge 5,nq=3900\cdot {\displaystyle \frac{364}{365}}=\mathrm{3889,32}\ge 5$

Calculamos los parámetros:

$\mu =np=\mathrm{10,68}$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{\mathrm{10,68}\cdot {\displaystyle \frac{364}{365}}}=\mathrm{3,26}$

$X\approx X^{\mathrm{\prime }}\sim N(\mathrm{10,68};\mathrm{3,26})$

Como pasamos de una variable discreta a una continua, en los dos apartados se aplica la corrección de continuidad de Yates.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{cumplan}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{patr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

«Al menos $15$» incluye el propio $15$, de modo que el límite continuo se sitúa medio punto por debajo, en $\mathrm{14,5}$.

$P(X\ge 15)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}>\mathrm{14,5})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{14,5}-\mathrm{10,68}}{\mathrm{3,26}}})$

$=P(Z>\mathrm{1,17})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,17})=1-\mathrm{0,8790}=\mathrm{0,121}$

La probabilidad de que al menos $15$ personas cumplan años ese día es $\mathrm{0,121}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumplan}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{patr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{comprendido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{15,}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{incluidos.}}$

Al estar ambos extremos incluidos, el intervalo continuo va de $\mathrm{4,5}$ a $\mathrm{15,5}$.

$P(5\le X\le 15)\approx P(\mathrm{4,5}<X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{15,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}-\mathrm{10,68}}{\mathrm{3,26}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{15,5}-\mathrm{10,68}}{\mathrm{3,26}}})=P(-\mathrm{1,90}<Z<\mathrm{1,48})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,48})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,90})$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por simetría:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,90})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,90})=1-\mathrm{0,9713}=\mathrm{0,0287}$

$P(5\le X\le 15)=\mathrm{0,9306}-\mathrm{0,0287}=\mathrm{0,9019}$

La probabilidad de que el número de personas que cumplen años ese día esté comprendido entre $5$ y $15$, ambos incluidos, es $\mathrm{0,9019}$.