Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Cuestión 7.

Una urna tiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas. Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que se obtienen al repetir nueve veces el siguiente experimento: se saca una bola de la urna y, después de anotar el color, se devuelve la bola a la urna.
a) [1 p.] ¿Qué tipo de distribución sigue dicha variable aleatoria y cuáles son sus parámetros?
b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?
c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas anotado sea menor o igual que 4?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros?}}$

Como la bola se devuelve a la urna, la composición no cambia y las nueve extracciones son independientes, con la misma probabilidad de sacar blanca en cada una.

$p={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4},q=\mathrm{0,6}$

Hay un número fijo de pruebas independientes con dos resultados posibles y probabilidad constante, así que la variable sigue una binomial.

$X\sim B(9;\mathrm{0,4})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Aplicamos las fórmulas de la binomial.

$\mu =np=9\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{3,6}$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{9\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=\sqrt{\mathrm{2,16}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{5}}\approx \mathrm{1,47}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{anotado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{4?}}$

Con solo nueve pruebas no hace falta aproximar: sumamos los cinco primeros términos de la binomial.

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{k}\right)(\mathrm{0,4}{)}^k(\mathrm{0,6}{)}^{9-k}$

$P(X=0)=\mathrm{0,0101},P(X=1)=\mathrm{0,0605},P(X=2)=\mathrm{0,1612}$

$P(X=3)=\mathrm{0,2508},P(X=4)=\mathrm{0,2508}$

$P(X\le 4)=\mathrm{0,0101}+\mathrm{0,0605}+\mathrm{0,1612}+\mathrm{0,2508}+\mathrm{0,2508}=\mathrm{0,7334}$

La probabilidad de anotar como mucho cuatro bolas blancas en las nueve extracciones es $\mathrm{0,7334}$, un $\mathrm{73,34}\mathrm{\%}$.