Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Ejercicio B5
Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60 % de los hogares tienen al menos dos coches. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos coches?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches?

A cada hogar de la muestra le corresponde un experimento con dos resultados posibles —tener al menos dos coches o no—, con la misma probabilidad en todos ellos e independientes entre sí. La variable $X$ que cuenta cuántos hogares tienen al menos dos coches es, por tanto, discreta y sigue una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(50;\mathrm{0,6})$

Comprobamos que se puede aproximar por una normal:

$np=50\cdot \mathrm{0,6}=30\ge 5,nq=50\cdot \mathrm{0,4}=20\ge 5$

Calculamos los parámetros:

$\mu =np=30$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{50\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,4}}=\sqrt{12}=\mathrm{3,46}$

$X\approx Y\sim N(30;\mathrm{3,46})$

Como pasamos de una variable discreta a una continua, en los dos apartados se aplica la corrección de continuidad de Yates.



$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{citados}}\mathbf{\text{hogares}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{coches?}}$

«Al menos $20$» incluye el propio $20$, de modo que el límite continuo se sitúa medio punto por debajo, en $\mathrm{19,5}$.

$P(X\ge 20)\approx P(Y>\mathrm{19,5})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{19,5}-30}{\mathrm{3,46}}})$

$=P(Z>-\mathrm{3,03})$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(Z>-\mathrm{3,03})=P(Z<\mathrm{3,03})=\mathrm{0,9988}$

La probabilidad de que al menos $20$ hogares tengan cuando menos dos coches es $\mathrm{0,9988}$: es casi seguro, lo cual tiene sentido porque $20$ queda muy por debajo de la media de $30$.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{hogares,}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{incluidos,}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{coches?}}$

Al estar ambos extremos incluidos, el intervalo continuo va de $\mathrm{29,5}$ a $\mathrm{40,5}$.

$P(30\le X\le 40)\approx P(\mathrm{29,5}<Y<\mathrm{40,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{29,5}-30}{\mathrm{3,46}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{40,5}-30}{\mathrm{3,46}}})=P(-\mathrm{0,14}<Z<\mathrm{3,03})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{3,03})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,14})$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por simetría:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,14})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,14})=1-\mathrm{0,5557}=\mathrm{0,4443}$

$P(30\le X\le 40)=\mathrm{0,9988}-\mathrm{0,4443}=\mathrm{0,5545}$

La probabilidad de que entre $30$ y $40$ hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches es $\mathrm{0,5545}$.