Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

8. Estadística y Probabilidad

a) Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.
b) Si $X$ sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule $P(X<24)$. Luego, calcule el valor de $\alpha >0$ tal que $P(25-\alpha <X<25+\alpha )=0.2128$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{opciones}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{pregunta,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{correcta.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acertar}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{preguntas}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{responden}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}$

Sea $X$ el número de preguntas acertadas. Cada pregunta se acierta con probabilidad $\frac{1}{4}$, con independencia de las demás, y el número de pruebas es fijo.

$X\sim B(60;\mathrm{0,25})$

Calcular $P(X\ge 16)$ término a término exigiría sumar 45 sumandos, así que aproximamos la binomial por una normal, lo que es lícito porque

$np=60\cdot \mathrm{0,25}=15>5nq=60\cdot \mathrm{0,75}=45>5$

$\mu =np=15\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{60\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}}=\sqrt{\mathrm{11,25}}=\mathrm{3,354}$

$X\sim B(60;\mathrm{0,25})⟶X^{\mathrm{\prime }}\sim N(15;\mathrm{3,354})$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad.

$P(X\ge 16)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{15,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{15,5}-15}{\mathrm{3,354}}})=P(Z\ge \mathrm{0,15})$

$P(Z\ge \mathrm{0,15})=1-P(Z\le \mathrm{0,15})=1-\mathrm{0,5596}=\mathrm{0,4404}$

La probabilidad de acertar al menos 16 preguntas respondiendo al azar es de 0,4404, cerca del 44 %.



Del enunciado, $X\sim N(25,2)$. Tipificamos el primer valor.

$P(X<24)=P(Z<{\displaystyle \frac{24-25}{2}})=P(Z<-\mathrm{0,5})$

Por la simetría de la campana respecto de la media:

$P(Z<-\mathrm{0,5})=1-P(Z\le \mathrm{0,5})=1-\mathrm{0,6915}=\mathrm{0,3085}$



Para la segunda parte, el intervalo es simétrico respecto de la media, así que al tipificar queda centrado en el origen.

$P(25-\alpha <X<25+\alpha )=P(-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<Z<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}})=2P(Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{2}})-1$

$2P(Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{2}})-1=\mathrm{0,2128}\Rightarrow P(Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{2}})={\displaystyle \frac{1+\mathrm{0,2128}}{2}}=\mathrm{0,6064}$

Buscando ese valor en la tabla, $P(Z\le \mathrm{0,27})=\mathrm{0,6064}$, de donde:

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,27}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,54}$

La probabilidad de que $X$ sea menor que 24 es de 0,3085, y el valor pedido es $\alpha =\mathrm{0,54}$.