Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Ejercicio B5
En un garaje hay 30 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil, con independencia de lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de 0,4, se pide:

a) Identificar y describir este modelo de probabilidad.
b) Hallar la probabilidad de que cierto día haya 8 automóviles aparcados.
c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Identificar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{describir}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad.}}$

A cada uno de los 30 aparcamientos le corresponde un experimento con dos resultados posibles —estar ocupado o no—, con la misma probabilidad en todos ellos e independientes entre sí, como dice expresamente el enunciado. La variable $X$ que cuenta cuántos automóviles hay aparcados es, por tanto, discreta y sigue una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(30;\mathrm{0,4})$

Sus parámetros característicos son:

$\mu =np=30\cdot \mathrm{0,4}=12$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{30\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=\sqrt{\mathrm{7,2}}=\mathrm{2,68}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cierto}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{autom}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{viles}}\mathbf{\text{aparcados.}}$

Se pide un valor concreto de la variable. Con $n=30$ la función de probabilidad de la binomial se calcula directamente, sin necesidad de aproximar.

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$

$P(X=8)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{8}\right)(\mathrm{0,4}{)}^8(\mathrm{0,6}{)}^{22}$

Calculamos el número combinatorio:

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{8}\right)={\displaystyle \frac{30!}{8!22!}}=5852925$

Sustituyendo:

$P(X=8)=5852925\cdot \mathrm{6,5536}\cdot {10}^{-4}\cdot \mathrm{1,3164}\cdot {10}^{-5}=\mathrm{0,0505}$

La probabilidad de que cierto día haya exactamente 8 automóviles aparcados es $\mathrm{0,0505}$, es decir, un $\mathrm{5,05}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{autom}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{viles}}\mathbf{\text{aparcados.}}$

Aquí habría que sumar once términos de la binomial, así que conviene aproximar por una normal. Comprobamos primero que se puede:

$np=12\ge 5,nq=18\ge 5$

$X\approx X^{\mathrm{\prime }}\sim N(12;\mathrm{2,68})$

Como pasamos de una variable discreta a una continua, aplicamos la corrección de continuidad de Yates: al estar ambos extremos incluidos, el intervalo continuo va de $\mathrm{9,5}$ a $\mathrm{20,5}$.

$P(10\le X\le 20)\approx P(\mathrm{9,5}<X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{20,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{9,5}-12}{\mathrm{2,68}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{20,5}-12}{\mathrm{2,68}}})=P(-\mathrm{0,93}<Z<\mathrm{3,17})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{3,17})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,93})$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por simetría:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,93})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,93})=1-\mathrm{0,8238}=\mathrm{0,1762}$

$P(10\le X\le 20)=\mathrm{0,9992}-\mathrm{0,1762}=\mathrm{0,823}$

La probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados es $\mathrm{0,823}$, es decir, un $\mathrm{82,3}\mathrm{\%}$.