Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

8. Estadística y Probabilidad:

a) En una determinada población de árboles, el 20% tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.
b) Si $X$ sigue una distribución normal de media 15 y $P(X\le 18)=0.6915$, ¿cuál es la desviación típica?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{40}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solamente}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{tan}}\mathbf{\text{grande}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{asumir}}\mathbf{\text{elecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{reemplazo.}}$

Sea $X$ el número de árboles, de entre los 40 elegidos, que tienen más de 30 años. Al poder suponer reemplazo, cada elección es independiente de las demás y la probabilidad se mantiene constante, así que

$X\sim B(40;\mathrm{0,20})$

Aplicamos la fórmula de la distribución binomial con $k=4$.

$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{40}{4}\right)(\mathrm{0,20}{)}^4(\mathrm{0,80}{)}^{36}$

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{40}{4}\right)={\displaystyle \frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=91390$

$P(X=4)=91390\cdot \mathrm{0,0016}\cdot {\mathrm{0,80}}^{36}=\mathrm{0,0475}$

La probabilidad de que exactamente 4 de los 40 árboles tengan más de 30 años es de 0,0475, menos del 5 %.



Ahora la incógnita es $\sigma$, así que tipificamos dejándola indicada.

$P(X\le 18)=P(Z\le {\displaystyle \frac{18-15}{\sigma }})=P(Z\le {\displaystyle \frac{3}{\sigma }})=\mathrm{0,6915}$

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor que deja esa probabilidad a su izquierda:

$P(Z\le \mathrm{0,5})=\mathrm{0,6915}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{\sigma }}=\mathrm{0,5}$



$\sigma ={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{0,5}}}=6$

La desviación típica de la distribución es $\sigma =6$. Obsérvese que 18 queda a media desviación típica por encima de la media, lo que concuerda con que la probabilidad acumulada apenas supere el 0,5.