Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

El 65 % de los universitarios de 18 años que intentan superar el examen práctico de conducir lo consigue a la primera. Se escogen al azar 10 universitarios de 18 años que ya han superado el examen práctico de conducir. Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente 3 de ellos necesitaran más de un intento para superar el examen práctico de conducir.
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos haya necesitado más de un intento para superar el examen práctico de conducir.
c) (1 punto) Aproximando por una distribución normal, determinar la probabilidad de que, dados 60 de estos universitarios, como mínimo la mitad superase el examen práctico de conducir a la primera.

Llamamos $X$ al número de universitarios, entre los 10 elegidos, que superaron el examen práctico a la primera. Cada uno es una prueba independiente con la misma probabilidad de éxito, así que sigue una binomial.

$X\sim B(10;\mathrm{0,65})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{necesitaran}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intento}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{superar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ctico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conducir.}}$

Que exactamente 3 necesitaran más de un intento equivale a que exactamente 7 lo consiguieran a la primera.

$P(X=7)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{7}\right){\mathrm{0,65}}^7{\mathrm{0,35}}^3$

$=120\cdot \mathrm{0,049022}\cdot \mathrm{0,042875}=\mathrm{0,2522}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{necesitado}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intento}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{superar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ctico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conducir.}}$

El suceso contrario es mucho más corto: que ninguno lo necesitara, es decir, que los diez aprobaran a la primera.

$P(\text{alguno})=1-P(X=10)=1-{\mathrm{0,65}}^{10}$

$=1-\mathrm{0,0135}=\mathrm{0,9865}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Aproximando}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{dados}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{universitarios,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{superase}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ctico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conducir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera.}}$

Ahora la binomial tiene 60 pruebas, así que calculamos su media y su desviación típica.

$Y\sim B(60;\mathrm{0,65})\Rightarrow \mu =np=39;\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{60\cdot \mathrm{0,65}\cdot \mathrm{0,35}}=\mathrm{3,69}$

Como $np$ y $nq$ superan holgadamente 5, la aproximamos por una normal y aplicamos la corrección de continuidad.

$Y^{\mathrm{\prime }}\sim N(39;\mathrm{3,69})$

$P(Y\ge 30)\approx P(Y^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{29,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{29,5}-39}{\mathrm{3,69}}})=P(Z\ge -\mathrm{2,57})$

$P(Z\ge -\mathrm{2,57})=P(Z\le \mathrm{2,57})=\mathrm{0,9949}$



La probabilidad de que al menos la mitad de los 60 superasen el examen a la primera es de $\mathrm{0,9949}$.