Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)

La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las $\frac{3}{5}$ partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:

1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?
1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones?
1.3 (1 punto) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

$\mathbf{\text{1.1}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Juana}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{reciba}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{“Like”}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{subido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{plataforma}}\mathbf{\text{TikiTak}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{publicaciones?}}$

Sea $X$ el número de "likes" que recibe Juana. $X$ es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial $X\sim B(4,\frac{3}{5})$. Por tanto:

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{0}\right)(\frac{3}{5}{)}^0(\frac{2}{5}{)}^4=\mathrm{0,0256}$

$\mathbf{\text{1.2}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Juana}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{reciba}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{“Likes”}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{publicaciones?}}$

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{1}\right)(\frac{3}{5}{)}^1(\frac{2}{5}{)}^3=4\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{8}{125}=\mathrm{0,1536}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)(\frac{3}{5}{)}^2(\frac{2}{5}{)}^2=6\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{4}{25}=\mathrm{0,3456}$

$\Rightarrow P(X\le 2)=\mathrm{0,0256}+\mathrm{0,1536}+\mathrm{0,3456}=\mathrm{0,5248}$

$\mathbf{\text{1.3}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Juana}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{recibir}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{“Like”}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0.999</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{publicaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{subir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{conseguirlo?}}$

En este ejercicio, el número de publicaciones es desconocido. Por tanto, $X\sim B(n,\frac{3}{5})$

Por otro lado:

$P(\text{Al menos un Like})=P(X\ge 1)$

$P(X\ge 1)+P(X<1)=1$

$P(X\ge 1)=1-P(X<1)$

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)$

$P(X\ge 1)=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)(\frac{3}{5}{)}^0(\frac{2}{5}{)}^n$

$P(X\ge 1)=1-(\mathrm{0,4}{)}^n$

Si queremos que esa probabilidad sea mayor que 0,999, tenemos que resolver una inecuación sencilla:

$P(X\ge 1)>\mathrm{0,999}\Rightarrow 1-(\mathrm{0,4}{)}^n>\mathrm{0,999}$

$-(\mathrm{0,4}{)}^n>-\mathrm{0,001}\Rightarrow (\mathrm{0,4}{)}^n<\mathrm{0,001}$

$\log (\mathrm{0,4}{)}^n<\log (\mathrm{0,001})\Rightarrow n\cdot \log (\mathrm{0,4})<-3$

$n\cdot (-\mathrm{0,3979})<-3\Rightarrow \mathrm{0,3979}\cdot n>3$

$n>\frac{3}{\mathrm{0,3979}}\Rightarrow n>\mathrm{7,54}$

Consecuentemente, Juana debe subir un mínimo de 8 publicaciones.